Многократные равноточные измерения

Если не имеется оснований полагать, что случайные составляющие малы по сравнению с систематическими составляющими погрешностей, то ими пренебрегать нельзя. В этом случае для определения характеристик погрешностей измерений, наряду с определением систематических составляющих погрешностей, необходимо проводить многократные измерения измеряемой физической величины для определения случайных составляющих.

При многократных измерениях отдельное измерение принято называть наблюдением, и, соответственно, результат отдельного измерения при проведении многократных измерений называется результатом наблюдения.

Многократные измерения показывают, что результаты отдельных наблюдений отличаются друг от друга. Отличия наблюдаются также в результатах отдельных серий многократных измерений. В метрологии принято различать равноточные и неравноточные измерения.

К равноточным (равнорассеянным) относятся измерения, проводимые одним наблюдателем, в одинаковых условиях, с помощью одного и того же средства измерения. Равноточность выполняется при условии, что измерения являются независимыми, одинаково распределенными.

Очевидно, что при многократных измерениях не имеется возможности проведения бесконечно большого количества наблюдений, следовательно, не имеется возможности принятия в качестве результата измерения истинного значения измеряемой величины и в качестве характеристик случайных величин принимаются не истинные, а приближенные оценки этих характеристик. Значения измеренной величины и оценок ее характеристик, в отличие от самих характеристик, являются случайными величинами, зависящими от количества проведенных наблюдений.

При многократных измерениях с ограниченным числом наблюдений (n≤15) и невозможности оценить и исключить систематические погрешности ограничиваются вычислением среднего арифметического и оценки его среднего квадратического отклонения. Результат записывается в виде Хср, σср, где σср - среднее квадратическое отклонение результата измерения.

При многократных измерениях используется методика обработки результатов наблюдений, состоящая из нескольких этапов. Ниже приведены основные этапы обработки.

1. Определяют и исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности:

Хi = Xi неиспр - Δсi,

где Хi - исправленный результат отдельного наблюдения; Xi неиспр - неисправленный результат отдельного наблюдения; Δсi - систематическая погрешность отдельного наблюдения.

Как уже отмечалось, определение систематической погрешности во многих случаях является непростой задачей. Неоднократным повторением наблюдения одной и той же величины систематическую составляющую погрешности выявить невозможно, так как разброс результатов наблюдений является следствием влияния случайной составляющей погрешности. Для количественной оценки систематических погрешностей необходимы либо априорные знания об их свойствах, либо экспериментальное их определение с учетом влияющих величин. Или же требуется проведение измерений методом их сличения с использованием средств измерений более высокого класса точности.

Чтобы эмпирически определить систематическую погрешность, требуется выявить все источники погрешностей, определить их отдельные значения. Для их оценки необходимо знать свойства используемых средств измерений, метод измерения, условия проведения измерения. Все найденные составляющие систематической погрешности суммируются.

Однако следует учитывать, что даже после определения систематической погрешности и внесения поправок в результаты наблюдений имеются неисключенные остатки систематической погрешности. Это связано с тем, что определение поправок либо поправочных множителей, а также сам процесс внесения поправок проводится с определенной погрешностью.

При дальнейшей обработке к неисключенным остаткам систематической погрешности относятся как к случайным величинам.

2. Вычисляют среднее арифметическое значение Хср исправленных результатов группы наблюдений, принимаемое в качестве результата измерения:

Хср=1/n∙Σi=1nXi , (6.14)

n - количество наблюдений; Хi - результат отдельного наблюдения.

Вычисленное по формуле (6.1) среднее арифметическое значение Хср является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания М[х] при нормальном законе распределения результатов наблюдений. При любых других симметричных относительно М[х] законах распределения Хср является состоятельной и несмещенной его оценкой.

Если известно, что систематическая погрешность всех наблюдений постоянна, то удобнее сначала вычислить среднее арифметическое значение неисправленных наблюдений, а затем вычесть из него значение систематической погрешности:

Хср = Хср неиспр - Δс , (6.15)

где

Хср неиспр=1/n∙Σi=1nXiнеиспр . (6.16)

3. Рассеивание отдельных наблюдений относительно среднего значения оценивается по среднеквадратическому отклонению результатов наблюдений.

Если проводят измерения известной величины (эталона), то в качестве эффективной оценки применяют среднюю квадратическую погрешность результатов наблюдения σ*, рассчитываемую от этой известной величины (действительного значения Хд):

σ*=√[1/n∙Σ1n(Xi-Xср)2] . (6.17)

Если измеряют неизвестную величину, то используют оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдения σ, найденную по эмпирической формуле:

σ=√[1/(n-1)∙Σ1n(Xi-Xср)2] . (6.18)

Оценка σ является несмещенной и состоятельной.

Рекомендуется провести проверку выполнения условия

Σ1n(Xi-Xср)=0 .

При небольшом числе наблюдений их рассеивание можно характеризовать размахом R = Хmax - Xmin , где Хmax и Хmin - максимальное и минимальное значения из ряда наблюдений.

Если имеется основание считать, что в результатах наблюдений могут быть грубые погрешности, необходимо произвести проверку на их наличие.

Результаты наблюдений, вызывающие сомнение своим отличием от остальных в большую или в меньшую сторону, необходимо проверить на отсутствие промахов при их получении. Если наличие промахов не было выявлено, необходимо произвести проверку на наличие грубой погрешности.

Вопрос о том, содержит ли результат данного наблюдения грубую погрешность при заданной вероятности Р, можно решить с использованием критерия Романовского путем определения границ интервала, вероятность выхода случайного отклонения за пределы которого весьма мала. Эти границы γr для нормально распределенных результатов наблюдений вычисляются по формуле

γr = tгσ , (6.19)

где tг - коэффициент для заданных уровней значимости q = 1 - Р и известного числа наблюдений n; σ - оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Если для заданной вероятности |Хi - Хср| < γг, то можно считать, что данный результат грубой погрешности не имеет. В этом случае можно продолжать расчеты согласно методике обработки многократных равноточных измерений.

Если для выделяющегося результата наблюдения значение случайного отклонения |Хi - Хср| > γ г, то этот результат можно считать имеющим грубую погрешность и его следует отбросить, т.е. количество наблюдений уменьшить на единицу. В этом случае вновь необходимо повторить пункты 1, 2, 3 методики обработки результатов прямых равноточных наблюдений, считая число наблюдений равным n - 1.

При числе наблюдений от 20 до 50 можно воспользоваться критерием "трех сигм". Критерий может быть использован для результатов наблюдений, распределенных по нормальному закону. В этом случае считается, что результат с уровнем значимости q ≤ 0,003 маловероятен. Поэтому, если |Хi - Хср| > 3σ, то такой результат наблюдения можно считать промахом и его следует отбросить. Отметим, что правило "трех сигм" достаточно жесткое, поэтому при большом количестве наблюдений коэффициент может варьироваться в зависимости от количества результатов наблюдений. Так, при количестве наблюдений от 100 до 1000 коэффициент равен 4,5.

Известны и другие критерии, например, критерий Шарлье, критерий Диксона, вариационный критерий Граббса, или критерий Шовенэ. В частности, достаточно удобно пользоваться вариационным рядом Диксона - при его использовании наблюдаются малые вероятности ошибок. Для его использования все результаты наблюдений записываются в вариационный возрастающий ряд х1, х2, х3, . . ., хn. Критерий Диксона равен отношению (хn - хn-1)/(хn - х1). Если выясняется, что критерий больше значения Zq при заданном уровне значимости q, то данный результат считается грубой погрешностью.

Пример проверки наличия грубой погрешности в результатах наблюдений. Проведены десятикратные наблюдения падения напряжения на резисторе, которые дали следующие результаты в вольтах: 1,23; 1,83; 1,36; 1,46; 1,35; 1,49; 1,12; 1,42; 1,56; 1,38. Проверить по критериям Романовского и Диксона, содержат ли результаты наблюдения грубую погрешность при вероятностях 0,9 и 0,99.

Решение. Находим среднее значение результатов наблюдения и несмещенную оценку среднеквадратического отклонения

Uср=1/10∙Σ110Ui=1,42 В;

σ=√[1/9∙Σ110(Ui-Uср)2]=0,16.

Находим tг. При q = 0,1 и n = 10 tг = 2,294 при q = =0,01 и n = 10 tг = 2,616.

Следовательно,

tгσ = 2,294×0,16 = 0,37 при Р = 0,9;

tгσ = 2,616×0,16 = 0,42 при Р = 0,99.

Наиболее выделяющимся из ряда является результат второго наблюдения, поэтому произведем его проверку. Рассчитаем его разность со средним значением

|U2 - Uср| = 0,41.

В связи с тем, что 0,41 > 0,37 при вероятности 0,9, по критерию Романовского можно сделать вывод о том, что U2 - грубая погрешность и этот результат следует отбросить. Тем самым исключаются погрешности, вероятность появления которых меньше 10 %.

При Р = 0,99 0,41< 0,42, т.е. для вероятности появления погрешностей менее 1 % грубой погрешности не обнаружено.

Проверим выполнение требования по критерию Диксона при вероятности 90 %. Расположим результаты в виде вариационного ряда: 1,23; 1,32; 1,35; 1,36; 1,38; 1,42; 1,44; 1,46; 1,56; 1,83.

Критерий Диксона

КД = (1,83 - 1,56)/(1,83 - 1,23) = 0,27/0,6 = 0,45.

При q = 0,10 Zq = 0,35. 0,45 > 0,35, следовательно, по этому критерию результат второго наблюдения относится к грубой погрешности при уровне значимости 0,10.

При q = 0,01 Zq = 0,53. Учитывая 0,45 < 0,53, можно считать, как и по критерию Романовского, при вероятности 99 %, что грубая погрешность в результатах наблюдений отсутствует.