4. После проверки на отсутствие грубых погрешностей вычисляют оценки среднего квадратического значения результата измерения σср:

σср=√[1/(n(n-1))∙Σ1n(Xi-Xср)2] . (6.20)

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения характеризует степень рассеивания результатов отдельных наблюдений относительно среднего арифметического значения.

Зная σср, можно найти наибольшую возможную, или предельную, погрешность Δпр. Понятие предельного значения погрешности теоретически справедливо только для погрешностей, имеющих четко выраженные границы закона распределений. Для таких законов (например, равномерного) можно указать такое значение ±Δпр, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения. Для других законов распределений Δпр следует понимать как значение, выход за которое весьма маловероятен. Принято считать, что для нормального закона распределений Δпр равно 3σср, так как при нормальном законе распределения вероятность того, что результат измерения отличается от истинного не более чем на 3σср, составляет чрезвычайно малое значение - 0,003, или 0,3 %, и такой погрешностью можно пренебречь.

Можно определить также вероятное значение погрешности Δв, которое соответствует доверительной вероятности 0,5, а это означает, что половина погрешностей превышает Δв, а половина меньше его. Для нормального закона распределения Δв ≈ 2/3σср.

Недостатком оценок в виде предельных и вероятных значений является то, что они не содержат информации о характере законов распределений случайных погрешностей. Например, при арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превысить действительные погрешности.

5. Проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению (при n > 15) - см. главу 7.

6. Находят границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерения Δ1 и Δ2.

Если закон распределения неизвестен, но известны его числовые характеристики, можно грубо оценить его доверительную вероятность снизу при заданном симметричном доверительном интервале e. Для этого можно воспользоваться неравенством Чебышева:

Р ≥ 1 – σ2ср/ε2 . (6.21)

Данный способ расчета используется редко и в основном для ориентировочных оценок, так как при заданном доверительном интервале получаемое значение Р сильно занижено.

Более приближенные к действительным значения дает метод определения погрешности при законе, близком к нормальному. В этом случае используется формула

P≈0.5[Ф(Δ1/σср)+Ф(Δ2/σср)] , (6.22)

где Ф(t) - интеграл вероятности;

t1=Δ1/σср;

t2=Δ2/σср.

Причем Ф(-t) = -Ф(t). При симметричном доверительном интервале (Δ1=Δ2=e) формула (6.9) упрощается:

P≈ Ф(ε) . (6.23)

Этот способ основан на использовании центральной предельной теоремы теории вероятности, согласно которой закон распределения суммы одинаково распределенных независимых случайных величин приближается к нормальному при условии, что число слагаемых в сумме неограниченно возрастает. Поэтому способ справедлив для любых законов распределения результатов наблюдений. Следовательно, при достаточно большом числе наблюдений (реально более 10-20) закон распределения может считаться близким к нормальному. Для малого числа наблюдений этот способ может привести к значительным ошибкам при определении доверительной вероятности.

Вероятность того, что случайная погрешность окажется за пределами интервала ± e, оценивается уровнем значимости q = 1 - Ф(t).

Для точного определения доверительной вероятности при малом количестве наблюдений существует способ, используемый для нормального закона распределения случайных погрешностей.

При заданном доверительном интервале доверительная вероятность может быть найдена по формуле

P≈F(Δ1/σср)+F(Δ2/σср)-1 , (6.24)

где F(t) - функция распределения Стьюдента.

Для симметричного доверительного интервала

P≈2F(ε /σср)-1 .

Если требуется определить доверительный интервал, при заданной доверительной вероятности удобно воспользоваться следующими формулами:

e = tσср, или e* = tσ*ср, (6.25)

где e - границы симметричного доверительного интервала (e = Δ1 = Δ2); t находится с использованием коэффициентов Стьюдента при известном количестве наблюдений n.

Использование последнего способа правомерно, если априорно известно, что закон распределения результатов отдельных независимых наблюдений нормальный либо проверка на нормальность распределения дала положительные результаты.

При решении задач часто доверительный интервал задается в виде ±3σср, при котором доверительная вероятность составляет 0,9973, или 99,73 %. Это означает, что на 370 проведенных наблюдений допустимо одно наблюдение с результатом, выходящим за пределы ±3σср. Если сузить границы доверительного интервала до ±2σср, то доверительная вероятность составит 0,955, или 95,5 %. Тогда выход за установленные пределы допускается на каждые 22 наблюдения.

Иногда требуется решение и обратной задачи - по заданной доверительной вероятности найти границы доверительного интервала, что возможно для всех трех способов при условии, что известны результаты отдельных наблюдений либо известна средняя квадратическая погрешность результата измерения. Если заранее доверительная вероятность не задана, то рекомендуется при технических измерениях принимать ее равной 0,95, а в особо ответственных случаях, связанных со здоровьем и безопасностью людей, применять доверительную вероятность, равную 0,99.