3) Построить и решить двойственную задачу линейного программирования.

В сформулированной задаче неравенство эквивалентно неравенству , а равенство можно представить как два неравенства и . Таким образом, рассматриваемую задачу линейного программирования можно представить в виде:

При ограничениях:

Поэтому двойственная задача имеет следующий вид:

При ограничениях:

Решим задачу с помощью Microsoft Excel.

Заносим имеющиеся данные в таблицу.

наименование	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
коэф. Целев. Функции	850	1200	2100	5800	5800
ограничение
						левая часть		знак		правая часть
коэф. В 1 огран	-3,4	2,1	6,4	25	-25			<=		1,5
коэф. В 2 огран	-5	5,2	8,5	37	-37			>=		3
коэф. В 3 огран	-3,8	5,1	8,4	23	-23			>=		5,4
коэф. В 4 огран	-2,6	2,8	10	22	-22			>=		0,8
Коэф. В 5	-2,3	3	6,1	20	-20			>=		1,2
	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	целевая функция
оптимальные значения								min

Решение двойственной задачи выглядит следующим образом:

Переменные
наименование	Z1	Z2		Z3		Z4	Z5
коэф. Целев. Функции	850	1200		2100		5800	5800
ограничение
										левая часть		знак		правая часть
коэф. В 1 огран	-3,4		2,1	6,4	25			-25		1,49		<=		1,5
коэф. В 2 огран	-5		5,2	8,5	37			-37		3		>=		3
коэф. В 3 огран	-3,8		5,1	8,4	23			-23		6,54		>=		5,4
коэф. В 4 огран	-2,6		2,8	10	22			-22		6,48		>=		0,8
Коэф. В 5	-2,3		3	6,1	20			-20		3,28		>=		1,2
	Z1		Z2	Z3	Z4			Z5		целевая функция
оптимальные значения	0		1	1	13448			13448		156001450		min

Задание 2. Многокритериальная оптимизация. Аналитический иерархический процесс (АИП)

Несколько страховых компаний предлагают свои услуги автострахования. Используя метод АИП, необходимо выбрать страховую компанию. Предлагается четыре компании: МАКС (К1), Спасские ворота (К»), Ингосстрах (К3) и РОСНО (К4). Факторами, влияющими на решение, являются: стоимость страхования ущерба (С1), стоимость гражданской ответственности (С2), своевременность расчетов с клиентами (Р). Приведенный анализ дал следующие матрицы сравнения.

А=	С1	С2	Р
С1	1	3	4
С2	1/3	1	3
Р	1/4	1/3	1

АС1=	К1	К2	К3	К4
К1	1	4	1/2	3
К2	1/4	1	1/3	¼
К3	2	3	1	3
К4	1/3	4	1/3	1

АС2=	К1	К2	К3	К4
К1	1	1	¼	3
К2	1	1	1/4	3
К3	4	4	1	5
К4	1/3	1/3	1/5	1

АС3=	К1	К2	К3	К4
К1	1	1/5	1/5	1/4
К2	5	1	1	2
К3	5	1	1	2
К4	4	1/2	1/25	1

Оцените согласованность матриц и определите страховую компанию, которую следует выбрать.

Проведем сравнение по показателю стоимости страхования ущерба (С1). Далее представлена нормализованная матрица сравнения компаний по показателю С1.

АС1=	К1	К2	К3	К4
К1	1,00	4,00	0,50	3,00
К2	0,25	1,00	0,33	0,25
К3	2,00	3,00	1,00	3,00
К4	0,33	4,00	0,33	1,00
сумма	3,58	12,00	2,16	7,25
нормализация
	К1	К2	К3	К4	среднее
К1	0,279	0,333	0,231	0,414	0,314
К2	0,070	0,083	0,153	0,034	0,085
К3	0,559	0,250	0,463	0,414	0,421
К4	0,092	0,333	0,153	0,138	0,179

Далее необходимо рассчитать коэффициент согласованности:

	К1	К2	К3	К4	среднее	мера согласованности
К1	0,279	0,333	0,231	0,414	0,314	4,460
К2	0,070	0,083	0,153	0,034	0,085	4,084
К3	0,559	0,250	0,463	0,414	0,421	4,374
К4	0,092	0,333	0,153	0,138	0,179	4,257
					ИС	0,098
					ИР	0,9
					Коэф. согласованности	0,109

Следовательно, для стоимости страхования ущерба коэффициент согласованности равен 0,109.

Аналогично проведем оценку по показателю страхования гражданской ответственности (С2).

Решение будет иметь вид:

АС2=	К1	К2	К3	К4
К1	1,00	1,00	0,25	3,00
К2	1,00	1,00	0,25	3,00
К3	4,00	4,00	1,00	5,00
К4	0,33	0,33	0,20	1,00
сумма	6,33	6,33	1,70	12,00
нормализация
	К1	К2	К3	К4	среднее	мера согласованности
К1	0,158	0,158	0,147	0,250	0,178	4,080
К2	0,158	0,158	0,147	0,250	0,178	4,080
К3	0,632	0,632	0,588	0,417	0,567	4,187
К4	0,052	0,052	0,118	0,083	0,076	4,028
					ИС	0,031
					ИР	0,9
					Коэф. согласованности	0,035

Следовательно, коэффициент согласованности равен 0,035.

Оценим компании по своевременности расчетов с клиентами (Р):

Ар=	К1	К2	К3	К4
К1	1,00	0,20	0,20	0,25
К2	5,00	1,00	1,00	2,00
К3	5,00	1,00	1,00	2,00
К4	4,00	0,50	0,50	1,00
сумма	15,00	2,70	2,70	5,25
нормализация
	К1	К2	К3	К4	среднее	мера согласованности
К1	0,067	0,074	0,074	0,048	0,066	4,006
К2	0,333	0,370	0,370	0,381	0,364	4,039
К3	0,333	0,370	0,370	0,381	0,364	4,039
К4	0,267	0,185	0,185	0,190	0,207	4,027
					ИС	0,009
					ИР	0,9
					Коэф. согласованности	0,010

Следовательно, коэффициент согласованности по данному критерию составляет 0,010.

Рассчитаем коэффициент согласованности для всех критериев:

А=	С1	С2	Р
С1	1,000	3,000	4,000
С2	0,333	1,000	3,000
Р	0,250	0,333	1,000
сумма	1,58	4,33	8,00
нормализация
	С1	С2	Р	среднее	мера согласованности
С1	0,632	0,692	0,500	0,608	3,131
С2	0,210	0,231	0,375	0,272	3,067
Р	0,158	0,077	0,125	0,120	3,023
				ИС	0,037
				ИР	0,58
				Коэф. согласованности	0,063

Следовательно, показатель страхования ущерба занимает 60,8%, а стоимость гражданской ответственности составляет 27,2%.

Вычислим взвешенные средние оценки для каждого варианта решения:

			рейтинги
критерии	Веса	К1	К2	К3	К4
С1	0,608	0,314	0,085	0,421	0,179
С2	0,272	0,178	0,178	0,567	0,076
Р	0,120	0,066	0,364	0,364	0,207
взвешенные ср. рейтинги		0,248	0,144	0,454	0,154

На основе полученных результатов можно сделать вывод, что явно лидирует компания К3 (Ингосстрах), рейтинг которой составляет 45,4%, также значимым является рейтинг компании К1 (24,8%) – это страхования компания МАКС.

Задание 3. Принятие решений в условиях риска и неопределенности.

Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу. Исследования отдела маркетинга показали:

Спрос на единицу в ближайшие три года, количество экз.	2000	3000	4000	5000
Вероятность	0,1	0,5	0,2	0,2

Контрибуция к капитальным затратам и прибыли составляет 9 ф.ст. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 4 ф.ст. за штуку.

Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составят 1 ф.ст. (для поддержания репутации фирмы и будущего спроса).

Используя каждое из правил для решения задач в условиях риска и неопределенности определите, сколько книг должно быть издано в расчете на трехлетний период.

Составим матрицу доходов:

Решение	Состояние природы (спрос)
	2000	3000	4000	5000
2000	18000	17000	16000	15000
3000	14000	27000	26000	25000
4000	10000	23000	36000	35000
5000	6000	19000	32000	45000

Определим ожидаемый результат:

ЕР ₂₀₀₀ = 18000 * 0,1 + 17000 * 0,5 + 16000 * 0,2 + 15000 * 0,2 = 1800 + 8500 + 3200 + 3000 = 16500 (ф. ст.)

ЕР ₃₀₀₀ = 14000 * 0,1 + 27000 * 0,5 + 26000 * 0,2 + 25000 * 0,2 = 1400 + 13500 + 5200 + 5000 = 25100 (ф. ст.)

ЕР ₄₀₀₀ = 10000 * 0,1 + 23000 * 0,5 + 36000 * 0,2 + 35000 * 0,2 = 1000 + 11500 + 7200 + 7000 = 26700 (ф. ст.)

ЕР ₅₀₀₀ = 6000 * 0,1 + 19000 * 0,5 + 32000 * 0,2 + 45000 * 0,2 = 600 + 9500 + 6400 + 9000 = 25500 (ф. ст.)

Так как, ожидаемый доход от производства 4000 книг будет наибольшим (26700 ф. ст.), то следовательно необходимо издать 4000 книг.

Определим наиболее выгодный вариант в условиях неопределенности издания книг по нескольким критериям: