- •Содержание
- •2. Понятие уравнения
- •2.1. Численное решение нелинейных алгебраических и транцендентных уравнений
- •2.1.1. Метод перебора
- •2.1.2. Метод дихотомии (половинного деления)
- •2.1.3. Метод отделения корней
- •2.1.4. Метод хорд
- •2.1.5. Метод касательных (метод Ньютона, метод линеаризованной итерации)
- •2.1.6. Метод секущих (комбинированный метод секущих – хорд, метод хорд - касательных)
- •2.1.7. Метод простых итераций
- •2.2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (снау)
- •2.2.1. Метод последовательных приближений (простых итераций) для снау
- •2.2.2. Метод Ньютона для снау
- •2.2.2.1. Вариант 1
- •2.2.2.2. Вариант 2
- •2.2.2.3. Меры предосторожности в методе Ньютона
- •2.2.2.4. Локальное решение нелинейного уравнения
- •2.2.3. Метод Ньютона по параметру
- •2.2.4. Метод Бройдена
- •2.2.5. Метод Матвеева
- •Литература
- •Задания и примеры выполнения нахождение корня нелинейного уравнения
- •1. Постановка задачи
- •2. Методы решения задачи
- •2.1 Метод деления отpезка пополам
- •2.2 Метод простой итерации
- •2.3 Метод Ньютона
- •Методы решения системы нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •2. Методы решения системы нелинейных уравнений
- •2.1.Метод простой итерации
- •2.2. Метод Ньютона
2.2.2. Метод Ньютона для снау
Название метод Ньютона применяется к целому семейству методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример.
Поскольку , где -начальное приближение, то
и можно получить новое приближение . Продолжая итерационный процесс можно с требуемой точностью приблизиться к одному из решений, например,
Расчетная формула для метода Ньютона может быть получена, если представить в окрестности текущего приближения в виде ряда Тейлора
,
и ограничиться линейными членами, тогда в матричной форме получим
,
где
Рис. 1. Итерация метода Ньютона для .
2.2.2.1. Вариант 1
Применительно к СНАУ получим следующий алгоритм:
1. Выбрать начальный вектор , положить
2. Вычислить вектор . Если все , где e- заданная точность расчета, то получено решение, расчет окончен. Если и , то итерационный процесс расходится, расчет завершить аварийно.
3. Построить матрицу Якоби
и вычислить значения всех производных в точке .
4. Решить систему уравнений, определив вектор поправок
5. Вычислить новое приближение
и положить .
6. Если , где -заданное предельное число итераций, то аварийно завершить расчет, иначе перейти к п.2 алгоритма.
7. Конец алгоритма.
Метод Ньютона при начальном приближении близком к некоторому решению часто обладает устойчивой квадратичной сходимостью. При плохой начальной точке имеет место расходящийся итерационный процесс. Метод Ньютона расходится, если матрица Якоби плохо обусловлена в окрестности решения. Часто перед использованием метода Ньютона выполняют несколько итераций, например, методом последовательных приближений для того, чтобы иметь «хорошее» начальное приближение.
В качестве косвенного критерия расхождения итерационного процесса можно использовать изменение знака Якобиана - определителя матрицы Якоби. Однако это условие, являясь достаточным, не является необходимым. Якобиан может быть вычислен, как побочный продукт решения методом Гаусса системы из п.3 алгоритма.
2.2.2.2. Вариант 2
Алгоритм:
Задаём абсолютную или относительную погрешность , число уравнений , максимальное число итераций и вектор начальных приближений (с компонентами ).
Используя разложение в ряд Тейлора, формулируем матрицу Якоби , необходимую для расчёта приращений при малом изменении переменных. Матрица Якоби в развёрнутом виде записывается следующим образом:
Поскольку аналитическое дифференцирование в общем случае нежелательно, заменяем частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями
где - малое приращение , например .
Составляем и решаем систему линейных уравнений для малых приращений :
Решение этой системы даёт , т. е. .
Вычисляем уточнённые значения
или в общем виде
Для всех проверяем одно из условий: по абсолютной и относительной погрешностям.
Если оно выполняется, идём к п. 2, т. е. выполняем новую итерацию. Иначе считаем вектор найденным решением.
ПРИМЕР.
Испытаем метод Ньютона на примере
с . Матрица Якоби имеет вид
,
и уравнение Ньютона имеет вид
Использование гауссова исключения даёт , и поэтому новым приближением к решению будет . Решением же системы нелинейных уравнений является .