Лекции
«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ»
(Часть III: Интерполяция. Аппроксимация.)
Новочеркасск 2012
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ 3
3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание 5
3.1. Введение 5
3.2. Интерполяция 5
3.2.1. Полиномиальная интерполяция 5
3.2.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера 6
3.2.3. Линейная интерполяция 6
3.2.4. Квадратичная интерполяция 6
3.2.5. Построение других базисных функций 7
3.2.6. Многочлены Тейлора 7
3.2.7. Лагранжева интерполяция 7
3.2.8. Ошибки полиномиальной интерполяции 9
3.2.9. Кусочно-линейная интерполяция 10
3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция 10
3.2.11. Эрмитов кубический интерполянт 11
3.2.12. Кубические сплайны 13
3.2.13. Кривые Безье. сплайны 17
3.2.14. Итерационный способ вычисления интерполяционного полинома 18
(способ Эйткена) 18
3.2.15. Интерполяционный многочлен Ньютона 18
3.2.16. Интерполяционный многочлен Гаусса 19
3.2.17. Интерполяционный многочлен Стирлинга 19
3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта 20
3.2.19. Интерполяционный многочлен Бесселя 20
3.2.20. Тригонометрическое интерполирование 20
3.2.21. Ортогональные многочлены 21
3.2.22. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лагерра 21
3.2.23. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лежандра 22
3.2.24. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Эрмита 22
3.2.25. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Чебышева 22
3.3. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов 23
3.3.1. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов 24
3.3.2. Аппроксимация данных с другими нормами 25
3.3.3. Аппроксимация данных многочленом заданной степени 26
ЛИТЕРАТУРА 32
ПРИМЕРЫ 33
Интерполяция и аппроксимация функций 33
Алгебраическая интерполяция 33
Табличное задание функции 33
Простейшие способы интерполяции 33
Интерполяционные полиномы 34
Сплайн-интерполяция 34
Тригонометрическая интерполяция 35
Неклассические методы интерполяции 35
Реконструкция функций 35
Всюду гладкая интерполяция 36
3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание
3.1. Введение
Интерполяция – вычисление
значений функции
,
заданной таблицей, между узловыми
точками.
Экстраполяция – вычисление значений функции , заданной таблицей, за отрезком узловых точек.
Аппроксимация – подбор формулы,
описывающей функцию
,
заданную таблицей.
Сглаживание – вывод эмпирических формул, позволяющий подобрать зависимость с минимальным отклонением от эмпирических данных (данных, полученных экспериментально).
Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и сглаживание базируются на одних и тех же методах.
3.2. Интерполяция
Простейший случай – интерполяция функции одной переменой.
Даны точки
,
требуется найти функцию
,
которая проходит через эти точки, т. е.
.
Говорят, что функция
интерполирует данные, и в этом случае
её называют интерполянтом или
интерполирующей функцией.
3.2.1. Полиномиальная интерполяция
В силу исторических и практических причин наиболее важным для интерполяции классом базисных функций является множество алгебраических полиномов. У полиномов есть очевидные преимущества: их легко вычислить, их легко складывать, умножать, интегрировать и дифференцировать.