Лекции

«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ» (Часть V: Решение систем дифференциальных уравнений)

Новочеркасск 2012

Оглавление

Задача Коши 3

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 3

Метод последовательного дифференцирования. 3

Метод неопределенных коэффициентов. 4

Метод последовательных приближений 4

Метод Эйлера 5

Метод Рунге-Кутта 6

Метод Милна 6

Дифференциальные уравнения второго порядка 7

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 7

Метод прогонки 8

Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка 9

Метод Галеркина 10

Метод коллокации 11

Примеры решений 12

Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений 12

ЛИТЕРАТУРА 18

Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) заключается в отыскании функции y=y(x) , удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям , где - заданные числа.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

заключается в отыскании функций y₁,y₂,...,y_n, удовлетворяющих этой системе и начальным условиям y₁(x₀) = y₁₀,y₂(x₀) = y₂₀,...,y_n(x₀) = y_n0.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к системе. В частности, дифференциальное уравнение n-ого порядка y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) приводится к системе с помощью замены y₁ = y^',y₂ = y^'',...,y_{n − 1} = y^{n − 1}, что дает общую систему:

,

,

...

,

.

Если удается найти общее решение уравнения или системы, то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Но найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях; чаще всего приходится решать задачу Коши приближенно.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) с начальными условиями .Предположим, что искомое частное решение y=y(x) может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности x − x₀: . Начальные условия непосредственно дают нам значения y^(k)(x₀) при k=0,1,2,...,n-1. Значение y⁽ⁿ⁾(x₀) найдем из уравнения , подставляя x = x₀ и используя начальные условия . Значения y^{(n + 1)}(x₀),y^{(n + 2)}(x₀),... последовательно определяются дифференцированием уравнения и подстановкой x = x₀, . Доказано, что если правая часть уравнения в окрестности точки (x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) , есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x , достаточно близких к x₀ , существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора. Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи.

Аналогично применяется метод последовательного дифференцирования и для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Этот метод рекомендуется применять при решении линейных дифференциальных уравнений (с переменными коэффициентами). Суть метода будет показана на примере уравнения второго порядка y^'' + p(x)y^' + q(x)y = r(x) с начальными условиями . Предположим, что каждый их коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням х: . Решение данного уравнения будем искать в виде ряда , где c_n- коэффициенты, подлежащие определению. Дифференцируем обе части равенства два раза по х: . Подставляя полученные ряды для y,y^',y^'',p,q,r в уравнение , получим .

Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях тождества , получим систему

где L(c_{n + 1},c_n,...,c₁,c₀) означает линейную функцию аргументов c₀,c₁,...,c_n,c_{n + 1}.

Каждое уравнение системы содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущем уравнением. Коэффициенты c₀,c₁ определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы.