Лабораторна робота №7 Метод скінченних елементів в крайових задачах для рівнянь еліптичного типу

Для прикладу розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона

(Л7.1)

(Л7.2)

де , – задані функції; ‑ область, в якій шукається розв’язок задачі, а – її межа (рис. Л7.1).

Рис. Л7.1. Область розв’язання задачі

Через позначимо множину функцій , які належать простору Соболєва і . Домножимо рівняння (Л7.1) на довільну функцію і проінтегруємо отриману рівність по області . Маємо

. (Л7.3)

Використовуючи формулу Остроградського-Гауса та враховуючи, що , отримуємо

Тоді з (Л7.3) маємо

.(Л7.4)

Розіб’ємо область на скінченні елементи. Нехай є всього вузлів. Наближений узагальнений розв’язок задачі (Л7.1), (Л7.2) будемо шукати у вигляді

(Л7.5)

де

‑ шукані невідомі коефіцієнти;

‑ базисні функції МСЕ.

Підставляючи (Л7.5) в (Л7.4) і покладаючи функцію почергово рівною кожній базисній функції , отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) для відшукання невідомих

(Л7.6)

Тут

; ; ; .

Якщо вузол , то в СЛАР (Л7.6) всі елементи -го рядка покладаються рівними нулю, і лише , . Тут “:=” – операція присвоєння.

Найбільш ефективний підхід до побудови матриці та вектор-стовпця полягає в поелементному ансамблюванні. Розглянемо випадок лінійних трикутних скінченних елементів, які містять три вузли під номерами , та . Нехай загальна кількість скінченних елементів . Тоді алгоритм побудови матриці та вектор-стовпця на основі по елементного ансамблювання наступний:

1. Всі елементи матриці та вектор-стовпця покладаються рівними нулю.

2. Номер елемента (де ‑ символ присвоєння).

3. Визначаємо внески елемента під номером , який містить вузли з номерами , , , наступним чином

,

,

,

,

,

,

, , .

4. Обчислені внески додаємо до відповідних елементів матриці та вектор-стовпця

, , ,

, , ,

, , ,

, , .

5. Збільшуємо номер елемента .

6. Якщо , то переходимо до пункту 3. В протилежному випадку переходимо до пункту 7.

7. Перебираємо всі вузли , . Якщо вузол , то ; .

8. Завершуємо формування матриці та вектор-стовпця .

Завдання. В прямокутнику АВСD (див. рис. Л7.2) знайти наближений розв’язок наступної крайової задачі:

, ,

,

де . Наближений розв’язок шукати, використовуючи лінійні трикутні скінченні елементи. Створити програму реалізацію, яка дозволяє порівняти знайдений наближений розв’язок з точним в будь-якій точці області.

Рис.Л7.2. Область розв'язання задачі

№			Точний розв’язок
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25