- •П. К. Лопатин Интеллектуальные манипуляционные роботы
- •Предисловие
- •Введение
- •1. Кинематика манипуляторов
- •1.1. Манипулятор как система твердых тел
- •1.2. Кинематика произвольного движения тела,
- •1.3. Кинематика поступательного движения тела
- •1.4. Кинематика произвольного движения твердого тела
- •1.5. Характер связей между звеньями
- •1.6. Расстановка систем координат по алгоритму Денавита-Хартенберга
- •1.7. Вывод матрицы перехода от I-й к (I–1)-й системе координат
- •1.8. Уравнение кинематики манипулятора
- •1.9. Скорость и ускорение некоторой точки манипулятора
- •Правая часть (1.45), если k j, k I;
- •0, Если k j.
- •1.10. Прямая задача кинематики
- •1.11. Обратная задача кинематики
- •Примеры решения задач
- •Разделим уравнение (1.71) на (1.72). Получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •2.1. Уравнения Лагранжа II рода
- •2.2. Кинетическая энергия манипулятора
- •Поскольку интеграл – это сумма, то формулу (2.3) можно записать в виде уравнения
- •Из (1.36) следует, что
- •Из формулы (1.42) видно, что
- •2.3. Потенциальная энергия манипулятора
- •2.4. Уравнение динамики манипулятора
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Планирование путей, траекторий и управление манипуляторами
- •3.1. Понятие пространства обобщенных координат.
- •Постановки задачи
- •3.2. Планирование пути методом полиномиальной аппроксимации
- •Решая эту систему, получим
- •3.3. Планирование пути с учетом ограничений на положение, скорость и ускорение
- •3.4. Планирование траектории с учетом динамики манипулятора
- •Библиографический список
- •3.5. Исполнение траектории
- •Библиографический список
- •Библиографический список
- •3.6.1. Алгоритм полного перебора
- •Библиографический список
- •3.6.2. Алгоритм перебора в глубину
- •3.6.3. Алгоритм а*
- •Библиографический список
- •3.6.4. Алгоритм фронта волны
- •Библиографический список
- •3.6.5. Алгоритм полиномиальной апроксимации
- •Библиографический список
- •3.6.6. Диаграммы вороного
- •Библиографический список
- •3.6.7. Алгоритм разделения ячеек
- •1. Предварительный поиск маршрута
- •2. Разделение плоскости на свободные области
- •3. Соединение свободных областей
- •4. Объединение свободных соединенных областей
- •5. Соединение свободных областей на соседних плоскостях
- •6. Создание объединенных областей и проверка достижимости
- •7. Построение маршрута
- •8. Пример
- •Библиографический список
- •Примеры решения задач
- •3.7. Управление манипуляторами в среде с неизвестными препятствиями
- •Библиографический список
- •Алгоритм
- •3.8. Иерархия уровней Управления роботами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Учебное издание
- •Учебное пособие
Поскольку интеграл – это сумма, то формулу (2.3) можно записать в виде уравнения
Ki = , (2.4)
где – интеграл по объему i-го звена.
Кинетическую энергию произвольной точки Ai, принадлежащей i-му звену, вычисляем по формуле
dKi = , (2.5)
где – скорость точки Ai в базовой системе координат; – масса точки Ai.
Поскольку = , где = ( , , , 1)T – радиус-вектор точки Ai в базовой системе координат, то
dKi = . (2.6)
Согласно (1.36)
= Si ,
где = ( , , , 1)T – радиус-вектор точки Ai в i-й системе координат.
Из (1.36) следует, что
= . (2.7)
И тогда формулу (2.6) преобразуем к виду
dKi = = . (2.8)
Преобразуем (2.8), используя следующие сведения:
1) дана матрица А:
A = ,
следом матрицы А называется величина
trA = a11 + a22 + a33 + a44; (2.9)
2) для двух векторов a = и b = верны:
скалярное произведение векторов
(a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4
и выражение
(abT) = [b1, b2, b3, b4] = ,
следовательно,
tr(abT) = (a, b); (2.10)
3) (AB)T = BTAT. (2.11)
Используя свойства (2.10) и (2.11), уравнение (2.8) можно записать в виде
dKi = = =
= . (2.12)
Полная кинетическая энергия i-го звена определяется в виде интеграла от dKi по всему объему Ui звена i:
Ki = = =
= . (2.13)
Матрица Hi = , называемая матрицей инерции звена i, имеет вид
Hi = =
= , (2.14)
где mi – масса i-го звена.
С учетом введенной матрицы Hi формула (2.13) перепишется в виде
Ki = . (2.15)
Кинетическая энергия всего манипулятора имеет вид
K = = . (2.16)
Из формулы (1.42) видно, что
= (2.17)
и
= . (2.18)
Тогда из формулы (2.16) получим
K = = =
=
= | = (a1 + a2 +...+ ai) (b1 + b2 +...+ bi) = | =
= = . (2.19)
Формула (2.19) представляет собой окончательное выражение для вычисления кинетической энергии манипулятора.
2.3. Потенциальная энергия манипулятора
Рассмотрим манипулятор (рис. 2.1).
Потенциальная энергия манипулятора равна сумме потенциальных энергий его звеньев:
П = . (2.20)
Потенциальная энергия i-го звена равна
Пi = gmi , (2.21)
где mi – масса i-го звена; – высота центра масс i-го звена в базовой системе координат; g – ускорение свободного падения.
Из формулы (1.36) имеем
, (2.22)
где – радиус-вектор точки Ci в неподвижной системе координат, – радиус-вектор точки Ci в системе координат, связанной с i-м звеном. Здесь Ci (i = 1, ..., n) – центр масс i-го звена.
Распишем формулу (2.22) покоординатно:
= Si . (2.23)
В векторе нас интересует только величина . Чтобы выделить ее из вектора , умножим вектор 3 = [0, 0, 1, 0] на левую часть формулы (2.23):
= [0, 0, 1, 0] = (3, ) = (3, Si ). (2.24)
Подставим (2.24) в (2.21):
Пi = gmi = gmi(3, Si ) = g(3, miSi ). (2.25)
Подставим (2.25) в (2.20):
П = = = . (2.26)
Уравнение (2.26) представляет собой окончательное уравнение для вычисления потенциальной энергии манипулятора.