1.6. Расстановка систем координат по алгоритму Денавита-Хартенберга

Теперь мы готовы к тому, чтобы присоединить к звеньям системы координат и получить матрицы, связывающие эти системы.

Системы координат можно присоединять к звеньям разными способами. Мы присоединим системы в соответствии с известным алгоритмом Денавита-Хартенберга [2].

Перенумеруем звенья манипулятора: стойке присвоим номер 0, звену, следующему за стойкой, – номер 1 и т. д. Схвату присваиваем номер n.

Сочленению, образуемому i-м и (i+1)-м звеном, присваиваем номер i (i = 0, 1, ..., n-1).

В месте соединения i и (i+1)-го звеньев манипулятора определяем ось i-го сочленения, т. е. ось вращения или ось, вдоль которой происходит поступательное перемещение.

Введем две последовательности характерных точек манипулятора. На оси i-го сочленения (i = 0, 1, ..., n-1) выбираем некоторую точку D_i, принадлежащую i-му сочленению, которая принимается за центр i-го сочленения и считается концом i-го звена и началом (i+1)-го звена. В качестве конца n-го звена принимаем некоторую характеристическую точку схвата, жестко связанную с n-м звеном. Длину отрезка D_i-1D_i назовем длиной i-го звена и обозначим L_i (i = 1, ..., n).

На оси i-го сочленения выбираем точку P_i (i = 1, ..., n-1) следующим образом. Точка P_i лежит на пересечении оси i-го сочленения и общего перпендикуляра к осям (i-1)-го и i-го сочленения, если эти оси не совпадают и не параллельны. Если они параллельны, то P_i = D_i, а если они совпадают, то P_i = P_i-1. Полагаем также, что P₀ = D₀, P_n = D_n. Точки P_i (i = 0, 1, ..., n) принимаем в дальнейшем за центры вводимых ниже систем координат.

Теперь переходим непосредственно к расстановке систем координат. Систему координат, связанную со стойкой манипулятора, обозначаем P₀x₀y₀z₀. Начало этой системы помещаем в точке P₀. Ось P₀z₀ направляем по оси вращения (либо линейного перемещения) первого звена. Оси P₀x₀ и P₀y₀ направляем произвольным образом, но так, чтобы система координат была правой. Выбор того, где будет положительная полуось, а где отрицательная, остается за пользователем.

Систему координат, связанную с i-м звеном, обозначаем P_ix_iy_iz_i (i = 1, 2, ..., n-1) и выбираем следующим образом. Начало системы координат помещается в точку P_i. Ось P_iz_i направляется вдоль оси i-го сочленения; ось P_ix_i – вдоль общего перпендикуляра к осям P_i-1z_i-1 и P_iz_i, а ось P_iy_i – так, чтобы система координат P_ix_iy_iz_i была правой. Для выбора оси P_ix_i может возникнуть несколько возможностей. Если P_i-1z_i-1 и P_iz_i не совпадают, то ось P_ix_i определяется единственным образом с точностью до направления. В качестве направления в этом случае можно выбрать, например, направление вектора [P_i-1z_i-1, P_iz_i,]. Если P_i-1z_i-1 и P_iz_i параллельны, то P_ix_i исходит из P_i и перпендикулярна P_i-1z_i-1 и P_iz_i. Если оси P_iz_i и P_i-1z_i-1 совпадают, то все возможные направления эквивалентны и выбирается любое из них.

Особо следует остановиться на способе расположения системы P_nx_ny_nz_n. Главным требованием при выборе системы P_nx_ny_nz_n является требование обеспечения возможности перевода системы P_n-1x_n-1y_n-1z_n-1 в систему P_nx_ny_nz_n с помощью перемещений а-г, описанных в следующем абзаце. Иногда систему P_nx_ny_nz_n можно расположить следующим образом. Начало P_n системы координат помещается в некоторую точку схвата. Оси P_nz_n и P_ny_n часто связывают с геометрической формой схвата, направляя, например, ось P_nz_n в продольном направлении схвата, ось P_ny_n – в перпендикулярном направлении. Ось P_nx_n выбирают так, чтобы система координат была правой.

При выборе систем координат в соответствии с алгоритмом Денавита-Хартенберга систему P_i-1x_i-1y_i-1z_i-1 можно перевести в систему P_ix_iy_iz_i с помощью поворота, двух переносов и еще одного поворота, выполняемых в следующем порядке:

а) поворот на угол _i вокруг оси P_i-1z_i-1 до тех пор, пока оси P_i-1x_i-1 и P_ix_i не станут параллельными. Величина угла _i определяется из следующих соображений: пользователь располагается так, чтобы ось P_i-1z_i-1 упиралась ему в глаз, ось P_i-1x_i-1 поворачивают против часовой стрелки на угол _i до тех пор, пока P_i-1x_i-1 и P_ix_i не станут параллельными;

б) перенос на величину s_i вдоль оси P_i-1z_i-1 до тех пор, пока оси P_i-1x_i-1 и P_ix_i не окажутся на одной прямой. Если s_i постоянная, то она принимает положительные значения в том случае если P_i-1x_i-1 смещается вдоль положительной полуоси P_i-1z_i-1 и принимает отрицательное значение в том случае если P_i-1x_i-1 смещается вдоль отрицательной полуоси P_i-1z_i-1;

в) перенос на величину a_i вдоль оси P_ix_i до тех пор, пока не совпадут начала (i–1)-й и i-й систем координат. Если a_i постоянная, то она принимает положительные значения в том случае если (i-1)-ая система координат смещается вдоль положительной полуоси по P_ix_i и принимает отрицательное значение в том случае если (i-1)-ая система координат смещается вдоль отрицательной полуоси P_ix_i;

г) поворот на угол _i относительно оси P_ix_i до тех пор, пока системы координат (i–1) и i не совместятся. Величина угла α_i определяется из следующих соображений: пользователь располагается так, чтобы ось P_ix_i упиралась ему в глаз, ось P_i-1z_i-1 поворачивают против часовой стрелки на угол α_i до тех пор, пока P_i-1z_i-1 и P_iz_i не совпадут.

По совмещении P_i-1z_i-1 и P_iz_i совместятся и P_i-1y_i-1 и P_iy_i, так как обе системы правые.

Возникает вопрос – всегда ли можно перевести систему (i-1) в систему i вышеуказанным способом? Если системы связаны со звеньями манипулятора, соединенными в кинематические пары 5-го класса, и расставлены в соответствии с алгоритмом Денавита-Хартенберга, то всегда [2]. В других случаях – не всегда.

Для примера рассмотрим системы координат, расположенные так, как показано на рисунке 1.11. Можно видеть, что ось x_i не лежит на общем перпендикуляре к осям z_i-1 и z_i . Вследствие этого сколько бы мы ни поворачивали ось x_i-1 вокруг оси z_i-1, как того требует пункт (а) алгоритма Денавита-Хартенберга, она никогда не станет параллельной оси x_i и, как результат, перевод системы P_i-1x_i-1y_i-1z_i-1 в систему P_ix_iy₁z_i оказывается невозможным.

Как указывает алгоритм Денавита-Хартенберга, ось z_i-1 направляется вдоль оси (i–1)-го сочленения, соединяющего (i–1)-е и i-е звенья Ось x_i направляется вдоль общего перпендикуляра к z_i–1 и z_i, т.е. ось x_iz_i–1.

На рис. 1.12 приведены все возможные расположения осей z_i–1 и z_i друг относительно друга. Возможность построения общего перпендикуляра к z_i-1 и z_i в случаях а), б), в) очевидна. Возможность построения общего перпендикуляра к осям z_i-1 и z_i в случае г), то есть когда они скрещиваются, доказана в [3].

Если пара вращательная, то i-е звено вращается вокруг оси z_i–1, следовательно, и ось x_i вращается вокруг оси z_i–1 и при этом x_iz_i–1. Если пара поступательная, то i-е звено смещается вдоль оси z_i-1 и при этом x_iz_i–1. Итак, всегда x_iz_i–1 и, значит, x_i || x_i–1P_i–1y_i–1. В случае вращательной пары ось x_i вращается в плоскости, параллельной плоскости x_i-1P_i-1y_i-1, и, следовательно, меняется угол между x_i-1 и x_i (т. е. угол _i), а величины s_i, a_i и _i будут оставаться постоянными. Это значит, что в случае вращательной пары обобщенной координатой q_i будет угол _i. В случае поступательной пары ось x_i будет смещаться вдоль оси z_i-1 и соответственно будет меняться расстояние между x_i и плоскостью x_i-1P_i-1y_i-1 (т. е. будет меняться величина s_i), а величины _i, a_i и _i будут оставаться постоянными. Это значит, что в случае поступательной пары обобщенной координатой q_i будет величина s_i.

Выведем матрицы, описывающие преобразования (см. п.п. а-г) алгоритма Денавита-Хартенберга, и с их помощью получим матрицу перехода от (i–1)-й к i-й системе координат.