3.2. Анализ линейных цепей гармонического тока с использованием комплексного преобразования (метод комплексных амплитуд)
Более универсальным методом анализа является применение комплексного преобразования, при котором гармонические сигналы одной и той же частоты заменяются комплексными числами, несущими информацию об амплитуде и о начальной фазе сигналов:
(3.8)
Так как комплексное преобразование является интегральным, то для него справедливы все свойства интегралов, например: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Отсюда следует справедливость всех законов и теорем электрических цепей в комплексном виде, а также справедливость рассмотренных в разделе 2 методов анализа.
Преобразуя, например, выражение (3.6) в комплексный вид, получаем
.
(3.9)
В выражении (3.9):
− значение
сопротивления для элемента «сопротивление»
на гармоническом токе;
− значение
комплексного (полного) сопротивления
элемента индуктивности при использовании
данного метода;
− значение
комплексного (полного) сопротивления
элемента емкости.
3.3. Различные методы анализа с использованием комплексных амплитуд сигналов. Примеры анализа
Методы анализа для линейных цепей гармонического тока те же, что и для цепей постоянного тока (раздел 2), однако в уравнениях применяются комплексные сопротивления и комплексные амплитуды сигналов. Некоторые особенности расчетов с комплексными числами, поясняют далее типовые примеры.
Пример
1. Определить
сопротивление эквивалентной схемы
(рис. 3.4) при известных параметрах
источника напряжения и элементов
,
,
,
,
.
С2
Рис. 3.4
Решение.
,
=220·e-jπ/4.
Пример
2. Пересчитать
элементы последовательной эквивалентной
схемы в элементы параллельной эквивалентной
схемы при известной частоте сигнала
(рис. 3.5) и известных значениях элементов
последовательной схемы:
,
,
.
а) б)
Рис. 3.5
Решение.
;
;
;
;
;
;
.
Пример 3. На рисунке 3.6 приведена комплексная схема замещения (величины указаны в комплексном виде). Определить ток через сопротивление методом контурных токов.
R
Рис. 3.6
Необходимые данные для расчета следующие:
,
,
,
,
,
.
Решение.
Число
требуемых уравнений:
(выбираем два контура).
Уравнения по второму закону Кирхгофа
Подставляя значения, получаем
,
Из первого уравнения системы для заданных значений сразу же находится значение второго контурного тока, который и является током через сопротивление:
,
,
.
Пример 4. Определить ток через сопротивление схемы (рис. 3.6) при тех же параметрах, что и в примере 3, методом узловых напряжений.
Решение.
Количество
требуемых уравнений
= 1.
Составляем уравнение для верхнего на схеме узла (напряжение Um1):
.
После подстановки численных значений получаем:
,
,
или,
.
Результаты расчетов комплексным методом могут иллюстрироваться так называемыми топологическими диаграммами – изображением комплексных амплитуд токов и напряжений на комплексной плоскости. Очевидно, что топологические диаграммы несут ту же информацию, что и векторные.