- •Учебно-методические материалы Теоретический курс Тема 1. Задачи теории игр в экономике Математические модели игр
- •Основные понятия
- •Классификация игр
- •Тема 2. Математические модели игр
- •Тема 3. Антагонистические игры Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегия
- •Тема 4. Решение антагонистической игры с седловой точкой
- •Тема 5. Смешанные стратегии
- •Тема 6. Функции выигрыша в смешанных стратегиях
- •Тема 7. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Тема 8. Критерии и свойства оптимальных стратегий
- •Тема 9. Принцип доминирования
- •Тема 10. Игры 2хп
- •Тема 11. Игры
- •Тема 12. Игры и их решение с помощью линейного программирования
- •Тема 13. Игры в условиях риска
- •Тема 14. Принятие решение в условиях риска на основе модели игры с природой
- •Тема 15. Игры в условиях неопределенности. Критерий принятия решений
- •Тема 16. Позиционные игры Понятие позиционной игры и ее нормальной формы
- •Графическое представление позиционной игры
- •Определение позиционной игры
- •Позиционные игры с полной информацией
- •Позиционные игры с идеальной памятью
Тема 16. Позиционные игры Понятие позиционной игры и ее нормальной формы
Естественным расширением матричной игры двух игроков с нулевой суммой является позиционная игра, в которой может принимать участие более двух (конечное число) игроков, каждый из них может последовательно делать конечное число ходов, некоторые ходы могут быть случайными, а сведения о них могут меняться от хода к ходу. Такие игры могут быть формализованы, определенным образам преобразованы в игру, эквивалентную некоторой матричной игре двух игроков с нулевой суммой. Процесс сведения позиционной игры к матричной называется нормализацией, а полученная матричная игра — игрой в нормальной форме.
Рассмотрим сначала пример, иллюстрирующий этот процесс.
Пример. Игра состоит из трех ходов, которые делают два игрока. Первый ход делает первый игрок: он выбирает число из множества двух чисел .
Второй ход делает второй игрок: зная, какое число выбрано первым игроком в первом ходе, он выбирает число у из множества двух чисел .
Третий ход делает первый игрок: зная, какое число у выбрал второй игрок, и помня, какое число он выбрал при первом ходе, выбирает число из множества двух чисел . На этом игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, второй игрок платит первому сумму, определенную функцией , где М задана следующим образом:
Для сведения этой позиционной игры к нормальной форме воспользуемся понятием стратегии игрока, как набора правил и указаний, как надо поступать ему во всех мыслимых ситуациях или при любом мыслимом состоянии информации, получаемой в любой момент игры. Рассмотрим сначала мыслимые стратегии второго игрока. Ясно, что у него имеется возможность выбора одного из двух чисел 1 или 2, т. е. имеется две возможности. Кроме того, у него есть информация о выбранном числе при первом ходе, следовательно, он, выбирая число у, может учитывать или не учитывать эту информацию, поэтому для каждого у имеется еще два значения , т. е. всего четыре стратегии:
1-я – выбирать y=1, не взирая на ,
2-я – выбирать y=2, не взирая на ,
3-я – выбирать y= ,
4-я – выбирать y=1, если =2, и выбирать y=2, если =1.
Другими словами, у второго игрока столько стратегий, сколько имеется способов отображения множества в себя.
Стратегия для первого игрока должна учитывать результаты сделанных ранее выборов. При каждом выборе на первом ходе может быть два выбора на втором ходе, т. е. уже имеется четыре варианта, а при каждом из этих вариантов может быть сделано два выбора, т. е. всего 8 возможных стратегий. Обозначим через стратегию первого игрока: где означает выбор первым игроком на первом ходе; — выбор первым игроком на третьем ходе, если второй игрок на втором ходе выбрал число 1: — выбор первым игроком на третьем ходе, если второй на втором ходе выбрал число 2.
Например, означает следующую стратегию первого игрока: на первом ходе он выбирает число 1 (первая цифра в скобках), а на третьем ходе он выбирает число 2, стоящее на втором месте в скобках, если второй игрок на втором ходе выбрал число 1; если же второй игрок на втором ходе выбрал число 2, то первый игрок на третьем ходе должен выбрать число 1, стоящее на третьем месте в скобках.
Теперь приведем матрицу выигрышей первого игрока в зависимости от применяемых стратегий (табл. 1), где столбцы соответствуют стратегиям второго игрока, а строки — стратегиям первого игрока.
Таблица 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1,1,1 1,1,2 1,2,1 1,2,2 2,1,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 |
1,1,1=-2 1,1,1=-2 1,1,2=-1 1,1,2=-1 2,1,1=5 2,1,1=5 2,1,2=2 2,1,2=2 |
1,2,1=3 1,2,2=-4 1,2,1=3 1,2,1=-4 2,2,1=2 2,2,2=6 2,2,1=2 2,2,2=6 |
1,1,1=-2 1,1,1=-2 1,1,2=-1 1,1,2=-1 2,2,1=2 2,2,2=6 2,2,1=2 2,2,2=6 |
1,2,1=3 1,2,2=-4 1,2,1=3 1,2,2=-4 2,1,1=5 2,1,1=5 2,1,2=2 2,1,2=2 |