- •Учебно-методические материалы Теоретический курс Тема 1. Задачи теории игр в экономике Математические модели игр
- •Основные понятия
- •Классификация игр
- •Тема 2. Математические модели игр
- •Тема 3. Антагонистические игры Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегия
- •Тема 4. Решение антагонистической игры с седловой точкой
- •Тема 5. Смешанные стратегии
- •Тема 6. Функции выигрыша в смешанных стратегиях
- •Тема 7. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Тема 8. Критерии и свойства оптимальных стратегий
- •Тема 9. Принцип доминирования
- •Тема 10. Игры 2хп
- •Тема 11. Игры
- •Тема 12. Игры и их решение с помощью линейного программирования
- •Тема 13. Игры в условиях риска
- •Тема 14. Принятие решение в условиях риска на основе модели игры с природой
- •Тема 15. Игры в условиях неопределенности. Критерий принятия решений
- •Тема 16. Позиционные игры Понятие позиционной игры и ее нормальной формы
- •Графическое представление позиционной игры
- •Определение позиционной игры
- •Позиционные игры с полной информацией
- •Позиционные игры с идеальной памятью
Тема 4. Решение антагонистической игры с седловой точкой
Рассмотрим проблему выбора игроками эффективных стратегий в антагонистической игре с несколько иных позиций.
Для лучшего обозрения сведем рассмотренные действия игроков A и В в соответствующие таблицы.
Действия игрока А Действия игрока В
№ хода |
Выбранная стратегия |
Выигрыш |
|
№ хода |
Выбранная стратегия |
Выигрыш |
|
||||||
1 |
|
– |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
... |
… |
... |
|
... |
... |
... |
Из этих таблиц видно, что после первых ходов игроков А и В сложилась ситуация , которая устраивает игрока В (он получает максимальный выигрыш ), но не устраивает игрока А (он получает минимальный "выигрыш" ). Поэтому игрок А своим вторым ходом, меняя стратегию на , приводит игру к ситуации , которую уже не приемлет игрок В. Игрок В заменяет стратегию на и исходом игры становится ситуация и т. д. Смена ситуаций выглядит следующим образом:
Таким образом, ситуации, складывающиеся после очередных ходов игроков, являются неустойчивыми.
Однако свойство неустойчивости ситуаций присуще не каждой игре. В этом можно убедиться на следующем примере.
|
|
|
|
|
(4.1) |
|
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,3 |
|
|
0,6 |
0,9 |
0,4 |
0,4 |
|
|
0,7 |
0,9 |
0,4 |
0,4
0,4 |
В данном случае максиминной стратегией игрока А является стратегия , а минимаксной стратегией игрока В - стратегия .
Если игрок А придерживается своей максиминной стратегии , то игрок В должен выбрать свою минимаксную с тем, чтобы выигрыш игрока А (или, что то же, проигрыш игрока В) был минимальным (во 2-й строке матрицы (4.1)). На это игрок А должен ответить выбором опять же стратегии , чтобы получить максимальный (в 3-м столбце) выигрыш . Ответным ходом игрок В опять выбирает стратегию и т. д.
Таким образом, если игроки А и В придерживаются своих максиминной и минимаксной стратегий соответственно, то ни один из них не может увеличить свой выигрыш, отступая от своей стратегии. Ситуация (А2, В3) является в дайной игре устойчивой.
Нижняя и верхняя цены игры совпадают:
Пример показывает, что существуют игры, нижняя цена которых равна верхней, т.е. , и в которых ситуации минимаксных стратегий обладают свойством устойчивости. В основе теоретического анализа таких игр лежит ряд понятий. Приведем соответствующие определения.
Пусть имеем -игру, игроки А и В которой обладают соответственно следующими множествами чистых стратегий: . Пусть матрица этой игры имеет вид (5.12).
Ситуация (сложившаяся в результате выбора игроками А и В соответственно стратегий ,) называется удовлетворительной (приемлемой, допустимой) для игрока А, если
(4.2)
и удовлетворительной для игрока В, если
(4.3)
Ситуация называется равновесной, или ситуацией равновесия, или устойчивой, или седловой, точкой игры, если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В, т.е. если выполняются неравенства (4.2) и (4.3):
Выигрыш , соответствующий ситуации равновесия , называют седловой точкой матрицы игры. Таким образом, элемент , являющийся седловой точкой матрицы игры, является минимальным в своей -й строке и максимальным в своем -м столбце. Игра, матрица которой содержит хотя бы один такой элемент, называется игрой с седловой точкой.
Теорема 6.5. Для того чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.
Соотношения между множествами оптимальных стратегий каждого игрока, с одной стороны, и множествами максиминных стратегий игрока А и минимаксных стратегий игрока В, с другой стороны, устанавливается следующей теоремой.
Теорема 6.6. Справедливы следующие утверждения.
Каждая оптимальная стратегия игрока А является его максиминной стратегией, а каждая оптимальная стратегия игрока В является его минимаксной стратегией.
В игре без седловых точек ни одна из максиминных и минимаксных стратегий не является оптимальной, поскольку в этой игре вообще нет оптимальных стратегий.