- •Глава 3 уравнения движения газа как сплошной среды
- •Уравнение неразрывности
- •Уравнение, выражающее закон изменения количества движения
- •Уравнения напряженного состояния реальной жидкости
- •Уравнение, выражающее закон сохранения энергии
- •Внутренняя энергия и теплоемкость
- •Интегралы дифференциальных уравнений Эйлера
- •Примеры на применение уравнения Бернулли
- •Оценка влияния сжимаемости
- •Погрешности определения давления без учета сжимаемости газа
- •Контрольные вопросы и задания
Глава 3 уравнения движения газа как сплошной среды
Уравнения движения выводятся исходя из закона сохранения массы, закона изменения количества движения, закона сохранения энергии, уравнения термодинамического состояния и уравнения напряженного состояния.
Применим эти законы к массе жидкости m, находящейся в момент времени t в некотором произвольно выделенном объеме V. Будем считать, что внутри объема нет ни источников, ни стоков.
Уравнение неразрывности
Согласно закону сохранения массы для изолированной системы, масса жидкости m, которая находилась в момент времени t в рассматриваемом объеме, будет оставаться неизменной при ее движении. То есть и .
И зменение массы при движении может происходить как за счет изменения плотности с течением времени, так и за счет изменения объема V, который может занимать рассматриваемая масса жидкости в следующий момент времени. Изменение массы за счет изменения плотности запишется как .
Найдем изменение массы за счет изменения объема. Элемент поверхности dS рассматриваемого объема переместится за время на расстояние (рис. 3.1); за счет перемещения элемента поверхности объем изменится в единицу времени на . Тогда изменение массы равно . Поскольку суммарное изменение массы равно нулю, то получаем – закон сохранения массы в интегральной форме.
Преобразуем интеграл по площади в интеграл по объему с помощью формулы Остроградского–Гаусса:
.
Объединяя интегралы, получим . В силу произвольности элементарного объема это равенство возможно, если подынтегральное выражение равно нулю, т. е. если
. (3.1)
Выражение (3.1) представляет собой закон сохранения массы в дифференциальной форме, или иначе – уравнение неразрывности для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. Для установившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид
. (3.1а)
Приведем уравнение (3.1) к другой форме, произведя следующие преобразования:
Так как , то уравнение неразрывности примет вид
. (3.1б)
В случае движения несжимаемой жидкости ( ) запись уравнения неразрывности еще более упростится:
. (3.1в)
Если движение несжимаемой жидкости потенциальное, то проекции вектора скорости на координатные направления можно записать через потенциал вектора скорости как
Тогда . Так как – это оператор Лапласа, то уравнение неразрывности для случая потенциального движения несжимаемой жидкости преобразуется в уравнение Лапласа:
. (3.1г)
В случае установившегося движения газа при решении практических задач часто используется уравнение неразрывности в форме уравнения массового расхода:
, (3.2)
где F – площадь поперечного сечения трубки тока, или (при движении несжимаемой среды) в форме объемного расхода:
. (3.2а)
Формулы (3.2) и (3.2а) получаются элементарным образом при рассмотрении расхода сжимаемой и несжимаемой жидкости через поперечные сечения трубки тока.
Уравнение, выражающее закон изменения количества движения
Согласно закону изменения количества движения изменение вектора количества движения постоянной массы m (находящейся в объеме V в момент времени t) равно сумме внешних сил, действующих на рассматриваемую массу:
. (3.3)
Внешние силы, способные изменить количество движения данной массы жидкости, разделяют на объемные и поверхностные силы.
Объемные силы – силы, величина которых пропорциональна массе жидкости в выделенном объеме. В данном случае имеет место сила тяжести, равная , где – главный вектор массовых сил, отнесенных к единице массы, т. е. ускорение от массовых сил (наиболее простое представление – ускорение силы тяжести).
Поверхностные силы – силы, величина которых пропорциональна площади поверхности, охватывающей выделенный объем. К ним относятся силы от нормальных и касательных напряжений, действующих на поверхность частицы. Считая жидкость идеальной, ограничимся рассмотрением только силы от аэродинамического давления, которая направлена по внутренней нормали. Тогда для внешней нормали коэффициент давления , и сила, действующая на всю поверхность, равна .
Если есть ускорение элемента dV, то сила инерции (вектор изменения количества движения) равна
.
Подставляя все в уравнение (3.3), получаем уравнение движения идеальной жидкости в интегральной форме:
.
Применив формулу Остроградского–Гаусса , можем объединить все три интеграла:
. (3.4)
В силу произвольности выделенного объема получаем, что подынтегральное выражение равно нулю в каждой точке газового потока в любой момент времени. Таким образом, можно прийти к уравнению движения идеального газа в векторной форме – уравнению движения Эйлера:
. (3.5)
Запишем уравнение (3.5) в проекциях на оси декартовой системы координат. Так как , , , то в проекциях на оси координат уравнения Эйлера запишутся в виде
. (3.6)
Уравнения (3.6) применимы для исследования движения сжимаемой и несжимаемой жидкости. Каждый член этой системы уравнений представляет собой ускорение. Можно сказать, что при движении идеальной жидкости суммарное ускорение складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.
Преобразуем левые части уравнений (3.6) с учетом формулы (2.3). При этом вспомним, что для проекции ускорения на ось ОХ
.
Применив аналогичную запись для других проекций, получим дифференциальные уравнения Эйлера в развернутом виде:
(3.7)
При интегрировании дифференциальных уравнений движения газа получим решения, содержащие произвольные функции и произвольные постоянные. Для их определения необходимы дополнительные условия: начальные и граничные.
При начальных условиях задается поле скоростей в начальный для данной задачи момент времени, т. е. при t = 0:
Очевидно, что начальные условия необходимы при решении задач неустановившегося движения газа.
Граничные условия – это условия на некоторых границах течения, в качестве которых может выступать поверхность обтекаемого тела, невозмущенный набегающий поток, поверхности раздела потоков и др. Граничные условия подразделяют на динамические и кинематические.
Динамические условия относятся к силам. Например, на свободной поверхности имеет место равенство давления внешней среды и давления на обтекаемой поверхности.
Кинематические условия относятся к скоростям. Например, на поверхности обтекаемого тела должно выполняться условие безотрывности обтекания или условие непротекания , в силу которых вектор скорости направлен по касательной к поверхности.
Если рассматривается движение вязкой жидкости, то в уравнениях движения необходимо учесть внутреннее трение в жидкости через силу трения:
где – вектор силы трения, действующей на единичную площадку, положение которой определяется в пространстве нормалью . Согласно формуле Остроградского–Гаусса
.
Тогда уравнение (3.4) примет вид
.
После интегрирования и преобразований уравнение движения реальной жидкости в векторной форме запишется следующим образом:
. (3.8)