Глава 5 плоские изоэнтропические течения газа
В
пространстве движущегося газа по
большому счету, за исключением некоторых
достаточно ограниченных областей
(пограничный слой, след за телом и др.),
имеет место безвихревое, или потенциальное
течение. Выясним, при каком условии
течение можно считать потенциальным,
т. е. при каком условии в потоке будут
отсутствовать вихри.
Рассмотрим
какую-нибудь линию тока аА
(рис. 5.1). Проведем касательную к линии
тока в точке а
(совпадает с направлением вектора
скорости
)
и внутреннюю нормаль n.
Уравнение движения в проекции на нормаль
n запишется
следующим образом:
,
(5.1)
где
r =
Оа –
радиус кривизны линии тока;
– центростремительное ускорение. Вдоль
линии тока полная удельная энергия и
энтропия не изменяют своей величины,
т. е.
и dS =
0.
Допустим,
что при переходе от одной линии тока аА
к другой bВ,
расположенной на расстоянии
от аА,
полная удельная энергия
и энтропия газа
изменяются. То есть
. (5.2)
Исключив
из уравнений (5.2)
получим
.
Тогда
и после подстановки в уравнение движения
(5.1) имеем следующее:
или
.
Выражение
в скобках
есть не что иное, как удвоенная угловая
скорость
.
Из условия потенциальности (вращательное
движение отсутствует)
= 0, следовательно,
.
Это
равенство в общем случае выполняется,
если
и
.
Случай
выполнения этого равенства при
и
не представляет интереса, так как он
соответствует движению с линиями тока
в виде либо концентрических
окружностей, либо параллельных прямых.
Таким образом, поток газа можно считать потенциальным, если полная удельная энергия и энтропия при переходе от одной линии тока к другой не изменяются.
Основное дифференциальное уравнение плоского потенциального потока газа
Рассмотрим
плоский потенциальный газовый поток
(установившееся течение). Уравнение
неразрывности для такого течения имеет
вид
,
которое для плоского потока запишется
как
.
Проведя дифференцирование в этом
уравнении, получаем
. (5.3)
Выразим
и
через проекции скорости
и
.
Считая движение баротропным
,
где
,
можно записать, что
и
.
Заменим
в этих выражениях
и
через уравнения Эйлера (3.6) и (3.7) с учетом
малости массовых сил, т. е.
,
,
.
Тогда имеем следующее:
,
.
Полученные выражения подставим в уравнение (5.3) и приведем его к следующему виду:
.
(5.4)
Учтем,
что для потенциального потока
,
,
и уравнение (5.3) примет вид
. (5.5)
Уравнение
(5.5) представляет собой основное
дифференциальное уравнение газовой
динамики для плоского потенциального
установившегося газового потока. Это
нелинейное дифференциальное уравнение
второго порядка в частных производных
относительно неизвестной функции
.
Однако коэффициенты при вторых производных
в явном виде от координат х
и y
не зависят, поэтому уравнение (5.5) называют
квазилинейным
дифференциальным
уравнением.
Для решения уравнения применяют два метода:
1) метод малых возмущений (метод линеаризации), который широко используется при исследовании обтекания тонких тел при малых углах атаки как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке и позволяет получить решение в аналитическом виде;
2) метод характеристик – численный метод, который применяется для определения поля скоростей в сверхзвуковом потоке.