- •Глава 4 одномерные изоэнтропические течения газа
- •Распространение малых возмущений. Скорость звука
- •Основные соотношения для одномерных изоэнтропических потоков газа
- •Величины числа Маха и коэффициента скорости при характерных значениях скорости V
- •Газодинамические функции
- •Связь между скоростью течения газа и формой его струи
- •Формы канала для разных случаев течения газа
- •Сверхзвуковое сопло (сопло Лаваля)
- •Режимы работы сверхзвукового сопла
- •Контрольные вопросы и задания
Глава 4 одномерные изоэнтропические течения газа
Так как сжатие (расширение) газа сопровождается повышением (понижением) давления, то, следовательно, газ обладает свойствами упругого тела. Местное уплотнение малой интенсивности ( , ) будет распространяться в виде возмущения (изменения состояния), называемого волной, с некоторой скоростью . Такова же природа и звуковой волны, представляющей собой продольные волны малой интенсивности. Поэтому скорость распространения любых малых возмущений в газе равна скорости звука.
Распространение малых возмущений. Скорость звука
Поверхность, отделяющая область возмущений от невозмущенной области, называется фронтом волны. В однородной среде волны малой интенсивности распространяются с одинаковой скоростью во всех направлениях, и фронт волны представляет собой сферическую поверхность (сферическую волну).
П олучим формулу для расчета скорости звука. Зафиксируем два положения волны (рис. 4.1): за промежуток времени волна из положения AB переместилась в положение CD, пройдя расстояние . То есть скорость звука (скорость распространения волны возмущения) равна .
Сжимаемая среда за счет возмущения давления будет двигаться с малой скоростью . Возрастание плотности в области ABCD на величину происходит за счет втекания газа в область возмущения с этой скоростью. Масса газа, втекающего в объем ABCD, равна . Этот прирост массы в объеме ABCD равен . Тогда , и, учитывая, что , получим
. (4.1)
С другой стороны, импульс силы , вызвавший приток массы газа, должен быть равен изменению количества движения жидкости в области ABCD. Следовательно, , или . Учитывая выражение (4.1), имеем следующее: , т. е.
(4.2)
Отсюда следует, что скорость звука зависит от закона, связывающего изменение давления с изменением плотности. П. Лаплас показал, что звуковые колебания распространяются достаточно быстро, и теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Процесс распространения звуковых волн можно считать адиабатическим. Для адиабатического процесса . Тогда и формула для расчета скорости звука будет иметь вид
. (4.3)
Для воздуха , и скорость звука равна
. (4.4)
Рассмотрим, как распространяются волны малых возмущений при различных скоростях движения среды. Пусть точечный источник возмущений расположен в точке О (рис. 4.2). Если газ покоится ( ), то возмущения в моменты времени и т. д. образуют ряд концентрических сферических волн с центрами в точке О и радиусом от нуля до аti на рассматриваемом отрезке времени.
µ
а б
Рис. 4.2. Распространение слабых возмущений:
а – в дозвуковом потоке (V < а); б – в сверхзвуковом потоке (V > а)
Если источник возмущений движется с некоторой скоростью (или поток движется относительно источника возмущений), то картина распространения возмущений изменяется.
При движении точечного источника возмущений с дозвуковой скоростью V < а сферические волны смещаются в сторону источника, но опережают его, т. е. источник находится внутри сферической волны, вызванной этим телом (рис. 4.2, а). При звуковой скорости источника передний край волны возмущения и положение источника совпадают.
Когда скорость источника возмущений становится больше скорости распространения волны (V > a), тело обгоняет волны, оставляя их позади себя в виде расширяющегося конуса, вершиной которого является само тело (рис. 4.2, б). Возмущения при сверхзвуковых скоростях навстречу потоку не распространяются, т. е. не проникают вперед в невозмущенную область.
Этот конус является огибающей сферических волн возмущений и называется конусом возмущения, или конусом Маха. Конус возмущений разделяет области возмущенного и невозмущенного потока. Если этот конус рассечь плоскостью, проходящей через его ось, то можно получить прямые OB и OB1, называемые линиями возмущений (линиями Маха), которые являются ударными волнами бесконечно малой интенсивности. Угол , равный половине угла при вершине конуса, называется углом возмущений. Этот угол связан со скоростью движения тела и скоростью звука зависимостью
или , (4.5)
где М – число Маха, – местная скорость потока; – местная скорость звука.
При = /2 sin = 1 и M = 1, т. е. V = а (скорость источника равна скорости звука). Из уравнения (4.5) видно, что с увеличением числа М уменьшается угол наклона линий слабых возмущений, т. е. зона возмущений сужается.