- •Розділ 5. Лишки та їх застосування до знаходження інтегралів
- •2. Основна теорема про лишки.
- •Приклад 1. Згідно зі сказаним вище, якщо , то
- •4. Знаходження деяких невласних інтегралів.
- •5. Лема Жордана.
- •7.1. Знаходження інтегралів .
- •7.2. Знаходженя інтегралів .
- •7.3. Знаходженя інтегралів .
- •9. Запитання для самоконтролю.
- •10. Вправи і задачі до п’ятого розділу.
Приклад 1. Згідно зі сказаним вище, якщо , то
.
Підінтегральна функція має особливі точки
,
і тільки належить . Тому
.
Приклад 2. Обчислимо
.
За попередніми міркуваннями і, оскільки z=0 є полюсом сьомого порядку функції , то
.
4. Знаходження деяких невласних інтегралів.
Лема 1. Нехай функція є неперервною в усіх точках півплощини , за винятком скінченного числа точок . Тоді, якщо
(1)
то
.
Доведення. Справді,
, .►
Нагадаємо, що інтегралом в розумінні головного значення функції в точках , де і для всіх , називається границя
,
де справа стоять інтеграли Рімана. Якщо функція інтегрована на у невласному розумінні, то вона також інтегрована на в розумінні головного значення і обидва інтеграли збігаються. Для позначення розглядуваного інтеграла використовують також символи
, .
Терема 1. Нехай функція є голоморфною в і неперервною в , де - деякі точки з . Тоді, якщо виконується (1), то
Доведення. Справді, візьмемо таке , щоб всі точки лежали в області . Застосувавши до основну теорему про залишки, отримуємо
і залишилось скористатись лемою 1. ►
Приклад 1. Для знаходження інтегралу
розглянемо функцію . Вона є голоморфною в , має в точці простий полюс і задовольняє умову (1) для . Тому
.
5. Лема Жордана.
Теорема 1 (лема (Жордана). Нехай функція є неперервною в за винятком скінченого числа точок
. (1)
Тоді для кожного
. (2)
Доведення. Маємо
де . Оскільки для , то
.
Тому, враховуючи що
,
отримуємо
►
Приклад 1. Для знаходження інтегралу розглянемо функцію . Нехай . Проводячи міркування аналогічні тим, що були використані при доведені леми Жордана, отримуємо
Справді,
,
а
.
Крім цього,
Тому, враховуючи те, що функція є цілою, то за інтегральною теоремою Коші
А, оскільки , то
Отже,
6. Знаходження інтегралів v.p. .
Теорема 1. Нехай , , – скінчена кількість точок із півплощини , функція є голоморфною в області задовольняє умову (1) попереднього пункту і в тих точках , для яких , має прості полюси. Тоді
. (1)
Доведення. Застосуємо до областей
,
основну теорему про залишки. Тоді
,
.
З іншого боку,
,
. (2)
Звідси випливає
.
Додавши почленно останні дві рівності, перейшовши до границі при і та скориставшись лемою Жордана і тим фактом, що для тих , для яких , виконується
,
приходимо до потрібного висновку. ►
Наслідок 1. Якщо задовольняє умови теореми 2 і для , то для кожного
,
Зауваження. У випадку, коли , f задовольняє умови леми Жордана в (в (2) інтегрування ведеться по ), справедливою є формула
.
Приклад 1.
Приклад 2.
.
Приклад 3.
.