28. Запитання для самоконтролю.
1.
Що називаємо аналітичним продовженням
функції
з множини
в
область
?
2. Що називаємо елементом аналітичної функції?
3. Що називаємо безпосереднім аналітичним продовженням?
4. Що називаємо аналітичним продовженням через область?
5. Що називаємо аналітичним продовженням через точку?
6. Що називаємо канонічним елементом?
7. Що називаємо ланцюгом канонічних елементів?
8. Що називаємо аналітичним продовженням вздовж шляху?
9. Що називаємо повною аналітичною функцією?
10. Що називаємо загальною аналітичною функцією?
11. Що називаємо функцією аналітичною в області?
12. Що називаємо аналітичною функцією?
13. Що називаємо аналітичною гілкою аналітичної функції?
14. Що називаємо голоморфною гілкою аналітичної функції?
15. Яка функція називається гармонійною?
16. Яку функцію називаєть спряженою гармонійною?
17. Обгрунтуйте спосіб знаходженя спряженої гармонійної функції?
18. Сормулюйте і обгрунтуйте відомий Вам зв’язок між гармонійними та голомофними функціями.
19. Сформулюйте і доведіть теорему про монодромію.
20. Сформулюйте і доведіть теорему Пуанкаре.
21. Доведіть, що множина визначення повної аналітичної функції є областю.
22. Сформулюйте і доведіть принцип збереження області.
24. Сформулюйте і доведіть принцип максимума модуля для аналатичних функцій.
25. Сформулюйте і доведіть принцип симетрії.
26.Запишіть інтегральне означення логарифма.
27. Що називаємо особливою точкою і особливим елементом першого роду повної аналітичної функції?
28. Що називаємо правильною точкою повної аналітичної функції?
29. Які два особливі елементи першого роду повної аналітичної функції називаються рівними?
30. Що називаємо ізольованою особливою точкою повної аналітичної функції?
31. Яку точку називаємо точкою розгалуження?
32. Що таке порядок точки розгалуження?
33. В якій області можна вибрати голоморфну гілку логарифма?
34. В якій області можна вибрати однозначну і неперервну гілку аргумента?
35. Сформулюйте і доведіть принцип аргумента.
36. На якому шляху можна вибрати однозначну і неперервну гілку логарифма?
37. На якому шляху можна вибрати однозначну і неперервну гілку аргумента?
38. Сформулюйте і доведіть теорему Руше.
39. Що називаємо функцією, аналітичною на шляху?
40. Сформулюйте і доведіть теорему теорему єдиності для функцій, аналітичних на шляху.
41. Який є зв’язок між неперервними гілками повної аналітичної функції на шляху і функціями, аналітичними на шляху.
42. Що називаємо багатозначною перісною функції неперервої в області?
43. Який є зв’язок між багатозначними первісними і голоморфними функціями?
44. Який є зв’язок між голоморфними первісними і голоморфними функціями?
45. Що називаємо перісною аналітичної функції?
46. Що називаємо перісною функції, аналітичноі на неперервному шляху?
47. Що називаємо рімановою поверхнею повної аналітичної функції?
48. Що називаємо абстрактною рімановою поверхнею?
29. Вправи і задачі до шостого розділу.
6.1.
Знайдіть голоморфне продовження функції
з множини
в область
і з’ясувати його єдиність
1.
,
,
.
2.
,
,
.
3.
,
,
.
4.
,
,
.
5.
,
,
.
6.
,
,
.
7.
,
,
.
8.
,
,
.
9.
,
,
.
10.
,
,
.
11.
,
,
.
6.2.
З’ясувати,
чи функції
та
є безпосереднім аналітичним продовженням
одна одної
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
,
.
6.3. Доведіть, що елемент (D1;f1) є аналітичним продовженням елемента (D2;f2)
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.4. Знайдіть аналітичне продовження функції f у вигляді ряду
1.
з
інтервалу (-1;1) в круг
.
2.
в максимальний окіл точки
.
3.
в області:
а)
;
б)
;
в)
.
6.5. Визначити максимальну (природну) область аналітичного продовження функції f
1.
;
2.
.
6.6.
Канонічний
елемент
з центром у точці
багатозначної функції
продовжується в точку b
вздовж
неперервного шляху
(зображеного
на рис.). Знайдіть
,
де
–
результат аналітичного продовження
,
, 
,
,
рис.1.
,
, 
,
,
рис.2.
,
, 
,
,
рис.3.
,
,
,
,
рис.4.
Рис.1 Рис.2
Рис. 3 Рис. 4
,
, 
,
,
.
,
,
,
, 
.
,
,
,
,
.
,
, 
,
, 
..
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
, 
, 
, 
,
.
6.7.
Дослідіть функцію
на гармонійність
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
. 6.
.
7.
.
8.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
6.8. Доведіть, що дані пари функцій u i v є спряженими гармонійними функціями
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
,
.
6.9. Знайдіть спряжену гармонійну функцію до функції
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
7.
8.
9.
6.10. Знайдіть голоморфну функцію , для якої
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
,
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
,
.
10.
.
11.
12.
,
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
6.11. Відомо, що функція u є гармонійною в області D, чи буде гармонійною в D функція u2?
6.12.
Чи існують
голоморфні функції
,
для яких
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
6.13.
Нехай
,
а
.
Знайдіть аналітичне продовження функції
¦
з області D
в область
.
6.14.
Нехай
і
.
Доведіть, що при аналітичному продовженні
¦
з області D
в область
через від’ємну дійсну піввісь і
відповідно додатну піввісь виходять
різні функції. Чому?
6.15. Знайдіть всі особливі точки вказаних функцій та з’ясувати їх характер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6.16.
Не розвиваючи
функцію ¦
в ряд Тейлора в околі точки
,
знайдіть радіус збіжності цього ряду
1.
2.
3.
4.
5.
;
6.
7.
8.
.
6.17. Покажіть, що в області D існує голоморфна гілка ¦ багатозначної функції F.
,
.
,
.
,
.
,
.
5.
, 
.
6.
, 
.
,
.
8.
,
.
9.
,
.
6.18. Чи існують голоморфні гілки функції ¦ в області ?
, 
.
,
.
,
.
, 
.
, 
.
, 
.
, 
.
6.19. Знайдіть значення в точці а тої голоморфної в області D гілки ¦ багатозначної функції F, яка в заданій точці приймає задане значення.
, 
,
,
.
, 
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
6.20.
Розвиньте в ряд Лорана ту голоморфну
гілку f
багатозначної функції F,
для якої
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
.
4.
,
,
.
6.21.
Знайдіть
,
де
– та голоморфна гілка в області
багатозначної функції F,
яка в заданій точці приймає задане
значення.
, 
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
, 
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
,
, 
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
16.
,
,
.
17.
, 
, 
.
18.
,
, 
.
6.22. Доведіть, що функція F є повною аналітичною функцією
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
6.23. Доведіть, що функція не є повною аналітичною функцією
1.
.
2.
.
3.
.
6.24.
Нехай
¦
– голоморфна гілка в області D
многозначної
функції F,
яка в заданій точці приймає задані
значення. Знайдіть
,
,
якщо
,
,
,
.
, , , .
,
,
,
.
6.25. Обчисліть інтеграли, користуючись принципом аргументу
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
.
6.26. Знайдіть логарифмічні лишки відносно відповідних контурів Г
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
6.27. Знайдіть кількість нулів функції в області
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
,
.
5.
,
.
6.
,
.
7.
,
.
8.
,
.
9.
,
.
6.28. Дослідіть скільки коренів має дане рівняння у відповідній області:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6. ;
7.
;
8.
;
9.
;
6.29.
Доведіть, що рівняння
має в крузі
єдиний дійсний додатний корінь.
6.30.
Скільки коренів має в крузі
рівняння
,
де n
– натуральне число, а
голоморфна в
і задовольняє умову:
?
6.31.
Нехай функція
f
голоморфна
в обмеженій замкненій області
,
за винятком скінченної кількості
полюсів, що лежать у
,
і
.
Доведіть, що кількість нулів і кіолькість
полюсів функції f
в
рівні.
6.32. Побудувати конформне і однолисте відображення області на область
1.
.
2.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
.
Вказівка.
Конформні відображення многокутників
на
виражаються через елементарні функції
тільки в окремих випадках. В загальному
випадку потрібно скористатись формулою
Крістофеля.
6.33.
Знайдіть
конформне і одлисте відображення
на
.
1.
2.
3.
.
4.
,
де
–
трикутник з вершинами 1,
,
.
6.34. Знайдіть однозначну неперервну гілку багатозначної функції на вказаному шляху, для якої виконується вказана умова
1.
;
,
,
.
2.
;
,
,
.
3.
;
,
,
.
4. ; , , .
5.
;
,
,
.
6.
;
,
,
.
7. ; , , .
8. ; , , .
9.
;
,
,
.
10.
;
,
,
.
11.
;
,
,
.
12.
;
,
,
.
13.
;
,
,
.
14.
;
,
,
.
15.
;
,
,
.
16.
;
,
,
.
6.35. Побудуйте ріманові поверхні для таких багатозначних функцій:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
де J – функція Жуковського.