- •Розділ 1. Множини комплексних чисел та функції
- •Оскільки
- •Приклад 4. Знайдемо . Оскільки і , то , , .
- •8. Степінь з довільним показником. За означенням
- •Гіперболічним косинусом комплексного числа називається комплексне число
- •23. Запитання для самоконтролю.
- •24. Вправи і задачі.
- •1.24. З’ясуйте можливість визначення значення функції в точці так, щоб продовжена функція була неперервною в цій точці:
Оскільки
, (2)
то кожне комплексне число можна записати в показниковій формі
, (3)
де i – будь-яке значення . Навпаки, якщо комплексне число має вигляд (3), де і , то i .
Приклад 1. Нехай . Тоді , і .
Приклад 2.
Приклад 3. , .
Приклад 4. , , .
5. Корінь n-го степеня комплексного числа. Коренем -го степеня, де , комплексного числа називається таке число , для якого . Множина всіх коренів -го степеня з числа z позначається через . Цим же символом позначається довільний елемент цієї множини. Якщо , , то , . Тому
, ,
або
, ,
де – будь-яке значення аргументу і – арифметичне значення кореня -го степеня з невід’ємного числа . Оскільки
,
то для існує n різних значень .
Приклад 1.
, .
Тому
,
,
.
Приклад 2. і аналогічно приходимо до висновку, що , якщо .
6. Компактифікація множини комплексних чисел. Інколи множину комплексних чисел доповнюють одним символом . При цьому вважають, що і для кожного комплексного числа z виконується , , i, якщо , . Символам не приписують жодного змісту. Множину комплексних чисел доповнену символом називають розширеною комплексною площиною або сферою Рімана і позначають через .
Рис. 1
Множину можна ототожнити зі сферою (сферою Рімана) з центром в точці (0;0;1/2) і радіусом за допомогою стеографічної проекції (так як вказано на рисунку). При цьому точці відповідає точка (0;0;1) (полюс сфери), а точці – точка , де
.
За такої відповідності колу або прямій на площині відповідає коло на сфері і навпаки. Множина також є метричним простором з відстанню (хордальна відстань – довжина хорди, що з’єднує точки і на сфері)
, , ,
, .
Простір , на відміну від простору , є компактом.
7. Логарифм комплексного числа. Логарифмом комплексного числа z називається таке число w, яке є розв’язком рівняння . Множина всіх таких чисел w позначається через . Нехай i , де i – одне із значень . Для знаходження кожного маємо рівняння
.
Два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх модулі і їх аргументи відрізняються на доданок , де . Тому знайдеться таке, що
Отже, якщо число є розв’язком рівняння , то існують такі та , що . Оскільки , то кожне число є розв’язком рівняння . Отож,
(1)
– множина розв’язків рівняння , тобто множина логарифмів числа . Символом позначають часто також довільний елемент множини розв’язків рівняння і рівність (1) записують, як правило, так (це стосується і інших подібних формул):
, , (1’)
або
, (2)
, , (3)
де – головне значення логарифма ( ). Інколи використовують позначення . Отож, всі значення логарифма отримують із одного шляхом додавання . З (2) і властивостей випливає, що
, . (4)
Приклад 1. , а , де (правильнішими були б записи , .
Приклад 2. , .
Приклад 3. . Проте , принаймні для деяких , бо .