Одномерный электронный газ

Получим распределение линейной концентрации электронов по энергии, химический потенциал электронного газа и среднюю энергию электрона в квантовой нити.

Спектр энергии одномерного электронного газа в квантовой нити получен в (П.8.5)

,

где ось z направлена вдоль проволоки. Считаем, что все электроны находятся в нижней зоне с , .

Распределение электронов по энергии. Плотность состояний на единицу длины проволоки получена в (П.8.6)

.

С учетом распределения Ферми–Дирака получаем

. (4.41)

Линейная концентрация электронов

. (4.42)

Заменяя , , получаем интеграл

.

Вырожденный газ соответствует низким температурам

.

Вычисляем интеграл, используя разложение Зоммерфельда (П.10.15) при , и получаем

.

Из (4.42) находим

.

Учитываем при , тогда

,

где

. (4.43)

Энергия Ферми увеличивается с ростом линейной концентрации и с уменьшением массы частицы. Полагая в знаменателе второго слагаемого для

,

находим

. (4.43а)

Химический потенциал увеличивается с ростом температуры.

Условие вырождения с учетом (4.43) и (4.43а) получает вид

. (4.44)

Условие нахождения электронов в нижней зоне

,

дает

. (4.45)

С учетом (4.44) получаем

,

тогда

. (4.46)

Если спектр поперечных движений близок к спектру двумерной, бесконечно глубокой потенциальной ямы с прямоугольным поперечным сечением, тогда

,

где a, b – поперечные размеры проволоки. При a > b находим и , тогда из (4.45) получаем ограничение на линейную концентрацию

.

Импульс Ферми. Из (4.43) находим

. (4.47)

Средняя энергия электрона. Вероятность того, что электрон имеет энергию в интервале (e, e + de), получаем из (4.41)

.

Из (4.43) выражаем

.

Средняя энергия электрона

. (4.48)

При из (4.48) находим

,

после замены получаем

.

Вычисление дает

. (4.49)

Квантование сопротивления баллистического проводника

Баллистический проводник имеет протяженность, меньшую длины свободного пробега, и электроны пролетают его без рассеяния. Это происходит, например, при комнатной температуре в углеродных нанотрубках диаметром 5–25 нм, длиной до 10 мкм или в двумерной гетероструктуре GaAs–AlGaAs толщиной 5 нм при температуре 0,5 К. На рисунке баллистический проводник длиной l соединен с контактами 1 и 2. Считаем, что в контактах электронный газ термодинамически равновесный, температура низкая и состояния заполнены до уровней Ферми и . Электрическое поле E в проводнике создает у контактов электрохимические потенциалы

, ,

,

где напряжение на переходе

.

Баллистический проводник

Формула Ландауэра. Число электронов, прошедших проводник, равно числу состояний n одномерного движения с учетом кратностей вырождения такого движения

,

где – кратность вырождения по спину; – кратность вырождения по поперечным к проводнику модам движения. Каждое состояние одномерного движения занимает фазовый объем h, тогда число состояний

,

где фазовый объем

.

Дифференцируя , получаем

.

Учитывая

, ,

находим

,

где  – время перехода электрона от контакта 1 к контакту 2. В результате число прошедших электронов

.

Прошедший заряд

создает ток

.

Сопротивление баллистического проводника равно

. (4.50)

Формулу получил Рольф Ландауэр в 1970 г. Сопротивление одномодового проводника

(4.50а)

выражается через мировые постоянные и не зависит от рода проводника и условий измерения. Из (4.50) следует проводимость

, (4.51)

где электропроводность одномодового баллистического проводника

. (4.51а)

Число поперечных мод равно числу типов движений, перпендикулярных к проводнику. Учитывая граничные условия на стенках проводника и то, что при низких температурах активизированы электроны вблизи уровня Ферми, получаем, что равно числу полуволн де Бройля на уровне Ферми, которые укладываются на ширине d проводника:

, (4.52)

где […] означает целую часть. Согласно (4.51) и (4.52), увеличение ширины проводника d повышает проводимость скачком на ₁ каждый раз, когда появляется очередная поперечная мода , т. е. выполняется , где . Это показано на рис. 4.5 сплошной линией для температуры . При конечной температуре уровень Ферми размывается, ступени графика получают наклон, показанный пунктиром. При , где E_n – энергия поперечного квантования, ступени графика сглаживаются и он превращается в прямую линию. График, показанный на рисунке, экспериментально получен в 1988 г. при исследовании гетероструктуры GaAs–AlGaAs с температурой 0,5 К. Число поперечных мод изменялось от 0 до 10 при помощи электрического потенциала на затворе гетероструктуры.

Зависимость проводимости от

ширины проводника