- •1 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.Решение системы существует и является единственным.
- •2. Система уравнений вообще не имеет решений.
- •3. Система уравнений имеет бесконечное множество решений
- •2 Итерационные методы решения систем линейных уравнений
- •Геометрическое истолкование процесса
- •3 Метод исключения (метод Гаусса)
- •4 Задания для самостоятельной работы
- •5 Задания для практической работы
- •6 Задания к лабораторной работе
- •Варианты задания
- •7 Содержание отчета
- •8 Контрольные вопросы
- •1 Формула прямоугольников
- •1.1 Формула «левых» прямоугольников
- •1.2 Формула «правых» прямоугольников
- •1.3 Формула «средних» прямоугольников
- •1.4 Случай неравноотстоящих узлов
- •1.5 Алгоритм вычисления интеграла функции, заданной
- •2 Формула трапеций
- •2.1 Вывод формулы
- •2.2 Оценка погрешности формул прямоугольников и трапеций
- •3 Формула Симпсона
- •4 Формула Гаусса
- •5 Задания для самостоятельной работы
- •5 Задания для практической работы
- •6 Задания к лабораторной работе
- •7 Содержание отчета
- •8 Контрольные вопросы.
- •1 Понятие о приближении функции
- •2 Точечная аппроксимация. Задача интерполирования
- •3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4 Интерполяционная формула Ньютона
- •5 Аппроксимация с помощью кусочных полиномов
- •6 Аппроксимация сплайнами
- •7 Задания для самостоятельной работы
- •8 Задания к лабораторной работе
- •9 Содержание отчета
- •10 Контрольные вопросы
- •1 Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •2 Графическое решение уравнений
- •3 Метод половинного деления
- •4 Метод хорд (пропорциональных частей, ложного положения)
- •5 Метод Ньютона (метод касательных)
- •Внеся эту поправку в (2), найдем следующее по порядку приближение корня:
- •6 Видоизмененный метод Ньютона (метод Рыбакова)
- •7 Метод секущих (комбинированный метод секущих-хорд)
- •8 Комбинированный метод касательных-хорд
- •9 Метод последовательных приближений
- •10 Усовершенствованный метод последовательных приближений
- •11 Метод Монте-Карло
- •12 Задания для самостоятельной работы
- •13 Задания к лабораторной работе
- •14 Содержание отчета
- •15 Контрольные вопросы
- •Вычислительные методы Методические указания по проведению лабораторных работ
- •65044, Украина, Одесса, пр. Шевченко, 1
- •65044, Украина, г.Одесса, пр. Шевченко, 1, корп. 5
2 Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
а11х1 + а12х2 + а13х3 = b1; (2.1)
а21х1 + а22х2 + а23х3 = b2; (2.2)
а31х1 + а32х2 + а33х3 = b3. (2.3)
Предположим, что а110, а220, а330, и перепишем систему в виде:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
В методе Якоби некоторое исходное приближение к решению этой системы, обозначенное как х1(0), х2(0), х3(0), одновременно используется с помощью выражений (2.4) – (2.6) для вычисления первого приближения х1(1), х2(1), х3(1) .Эти значения используются для вычисления второго приближения, и т.д. Процесс прекращается, когда достигается требуемая точность решения. В этом методе замена значений всех приближений производится одновременно (метод одновременных смещений).
В методе Гаусса-Зейделя также берется исходное приближение к решению системы (2.1) – (2.3), обозначенное как х1(0), х2(0), х3(0).
Подставим это решение в (2.4) и вычислим новое значение х1:
.
Используя полученное значение х1(1) и начальное значение х3(0), вычислим из (2.5) новое значение х2:
.
Используя значение х1(1) и х2(1), вычислим из (2.6) новое значение х3:
.
Этим заканчивается первая итерация. Теперь можно заменить исходные значения х1(0), х2(0), х3(0) на х1(1), х2(1), х3(1) и вычислить следующее приближение.
В общем случае k-ое приближение определяется формулами:
(2.7)
Видно, что текущее значение неизвестных сразу же используется для последующих вычислений. Например, нельзя вычислить х2(k), пока не получено х1(k). Аналогично, для вычисления х3(k) необходимо сначала определить х1(k) и х2(k).
Метод Гаусса-Зейделя очень удобен для использования на ЭВМ.
Рассмотрим теперь систему из n уравнений с n неизвестными:
(2.8)
Мы по-прежнему предполагаем, что диагональные коэффициенты аii отличны от 0 для всех i. Тогда k-ое приближение к решению будет задаваться формулой:
.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все хi(k) не станут достаточно близкими к хi(k-1). Критерий близости можно задать в виде:
,
где определяется максимальное значения разности для всех i, а – некоторое положительное число. При выполнении критерия итерационный процесс следует остановить.
Обратимся к вопросу сходимости метода. Перед обобщением на случай n уравнений рассмотрим более простой пример – систему из 2-х уравнений. При этом возьмем систему, в которой диагональные коэффициенты по абсолютному значению будут больше недиагональных.
(2.9)
Точное решение системы:
х = 2/5, у = 6/5.
Из (2.9) запишем:
Результаты последовательных итераций составляют:
Итерация |
х |
у |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3/2 |
2 |
1/4 |
9/8 |
3 |
7/16 |
39/32 |
Графическое решение системы представлено на рисунке точкой пересечения двух прямых.
Рисунок 1.5 – Итерационный процесс решения системы (2.9)
Из таблицы видно, что итерационный процесс приводит нас к решению, которое с каждой итерацией приближается к точному решению системы, то есть итерационный процесс сходится.