2.2. Функция распределения случайной величины

Для количественной характеристики вероятностных свойств случайной величины удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X<x, где х - текущая переменная. Вероятность события Х<х зависит от значения х, т.е. является некоторой функцией от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и записывается в виде:

. (2.5)

Функцию (2.5) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Если будем рассматривать случайную величину Х как случайную точку Х на числовой оси ОХ , тогда F(х) есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки х. Определим свойства функции распределения.

1.F(х) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при имеем (при перемещении точки х вправо по оси ОХ вероятность того, что случайная точка Х падает левее х, не может уменьшится).

2. (попадание случайной точки X левее точки является невозможным событием).

3. (попадание случайной точки Х левее точки является достоверным событием).

Функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой некоторую непрерывную неубывающую функцию, изображенную на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения дискретной случайной величины стро­ится на основе упорядочен­ного ряда распределения (в котором значения х_i расположены в порядке возрастания слева направо) и представляет собой разрывную ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений (рис.2.3). С учетом условия (2.3) сумма всех скачков равна единице.

Рис. 2.3. Функция распределения дискретной случайной величины

Определим вероятность попадания случайной величины Х на участок от до , т.е. через функцию распределения F(х). Рассмотрим три события. Событие А заключается в том, что точка Х попадает левее точки , событие В - левее точки , событие С - в рассматриваемый интервал. Поскольку между событиями А, В и С существует очевидная взаимосвязь А=В+С по теореме сложения вероятностей [1] можно записать:

или

Окончательно имеем:

(2.6)

т.е. вероятность попадания случайной величины на задний участок равна приращению функции распределения на этом участке.

2.3. Плотность распределения вероятности случайной величины

Пусть функция распределения непрерывна и дифференцируема. Определим вероятность попадания случайной величины Х на участок от х до

С учетом выражения (2.6) . Отношение этой вероятности к величине интервала в пределе при равно производной от функции распределения:

. (2.7)

Производная (2.7) называется плотностью распределения вероятности (ПРВ) случайной величины Х. Применяют также термины "дифференциальная функция распределения" или "дифференциальный закон распределения". График функции называется кривой распределения (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины

Вероятность попадания случайной величины на элементарный участок с точностью до бесконечно малых значений равна и называется элементом вероятности. Вероятность попадания случайной величины на участок от до равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу

(2.8)

Геометрически вероятность (2.8) соответствует площади под кривой , опирающейся на участок от до .

Выразим функцию распределения через ПРВ :

. (2.9)

Геометрически вероятность (2.9) соответствует площади под кривой опирающейся на участок от до .

Плотность распределения вероятности имеет следующие основные свойства:

1) плотность распределения вероятности есть неотрицательная функция, т.е. ; это следует из того , что функция есть неубывающая функция;

2) площадь под кривой распределения численно равна единице:

(2.10)

что следует из выражения (2.9) и третьего свойства функции распределения .

Размерность ПРВ , как следует из выражения (2.7), обратна размерности случайной величины Х , в то время как является вероятностью, т.е. величиной безразмерной.

Рис. 2.5. Плотность распределения вероятности дискретной случайной величины

Пользуясь определением (2.7) ПРВ случайной величины, нетрудно изобразить график плотности распределения дискретной случайной величины (соответствующий рис. 2.3), показанный на рис. 2.5.

На рис. 2.5 изображение дельта-функции обусловлено скачками функции в точках . Нормировочное условие (2.10) при этом не нарушается, так как выполняется равенство (2.3), а интеграл от дельта-функции равен единице [2].

Нахождение кривой распределения случайной величины по результатам ее наблюдения и обработки статистических данных сводится к построению гистограммы [1] и описывается ниже.

Рассмотренные законы распределения полностью характеризуют вероятностные свойства случайной величины. Однако на практике часто достаточно знать лишь некоторые существенные особенности законов распределения. Такое сокращенное описание достигается с помощью числовых характеристик случайных величин.