- •Элементы теории погрешностей Основные определения
- •Правила округления чисел
- •Типы погрешностей:
- •Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)
- •Верные значащие цифры приближенного числа
- •Погрешности математических операций Абсолютная погрешность суммы и разности
- •Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел
- •Относительная погрешность частного
- •Относительная погрешность натуральной степени и корня
- •Правила подсчета цифр
- •Общая формула для вычисления погрешностей
- •Тема: Элементы теории погрешностей
- •Задачи с решениями
- •Часть II. Методы решения нелинейных уравнений
- •Отделение корней
- •Итерационное уточнение корней
- •Метод половинного деления или бисекций
- •Теорема о сходимости метода бисекций
- •Метод хорд решения нелинейных уравнений
- •Оценка погрешности метода:
- •Метод Ньютона (метод касательных)
- •Теорема о сходимости метода Ньютона
- •Критерий окончания итерационного процесса
- •Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Метод итераций
- •Теорема о сходимости итерационной последовательности
- •Критерий окончания итерационного процесса
- •Задачи с решениями
- •Семинары 2,3 Тема: Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной
- •Лабораторная работа: метод бисекции.
- •Лабраторная работа: метод Ньютона
- •Литература:
- •Часть II. Методы решения нелинейных уравнений 18
Семинары 2,3 Тема: Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной
Метод бисекции или метод половинного деления.
Метод хорд.
Метод Ньютона (касательных).
Комбинированный метод решения уравнений.
Метод итераций.
Отделить действительные корни уравнения x3+2x+1=0.
Рассмотреть на отрезке [0,1] уравнение x-cosx=0. Показать, что оно имеет единственный корень, и найти его приближенное значение с помощью метода бисекции.
Отделить корни аналитически и графически. Найти корни уравнений методом бисекции с точностью до 0,001.
а) х3 – х + 1 = 0; б) х3 + 2х - 4 = 0; в) х4+ 5х - 3 = 0;
г) 2,2х - 2х = 0; д) 2х – 2х2 -1 = 0; е) 2х – 4х = 0;
Вычислить с помощью метода касательных (приближенное значение =1,7320)
Комбинированным методом хорд и касательных вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения: .
Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения на промежутке [0;0,6]. Приближенные значения х1 и х2 вычислить с двумя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения х2.
Отв.3: -1,325; 1,180; -1,876 0,578; 0,781 2,401; 0,0 0,399 6,352; 0,310 4,0.
Лабораторная работа: метод бисекции.
Лабраторная работа: метод Ньютона
Литература:
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. М.: «БИНОМ», 2007. -637с.
Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике. - М.: «Высшая школа», 1990. -208 с.
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 2. – М.: «Мир и Образование», 2003.-416 с
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: «Наука», 1966. -664 с.
М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер. Численные методы. – М.: «Академия», 2007.-384с.
И.Д.Протасов. Лекции по вычислительной математике. – М.: «Гелиос АРВ», 2004. -184с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 1
Основные определения 1
Правила округления чисел 1
Типы погрешностей: 2
Абсолютная и относительная погрешности (АП и ОП) 2
Верные значащие цифры приближенного числа 5
Погрешности математических операций 6
Абсолютная погрешность суммы и разности 6
Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел 7
Относительная погрешность частного 8
Относительная погрешность натуральной степени и корня 8
Правила подсчета цифр 9
Общая формула для вычисления погрешностей 10
ТЕМА: Элементы теории погрешностей 11
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 13
Часть II. Методы решения нелинейных уравнений 18
Отделение корней 19
Итерационное уточнение корней 19
Метод половинного деления или бисекций 20
20
Теорема о сходимости метода бисекций 20
Метод хорд решения нелинейных уравнений 21
Оценка погрешности метода: 24
Метод Ньютона (метод касательных) 25
Теорема о сходимости метода Ньютона 26
Критерий окончания итерационного процесса 26
Комбинированный метод хорд и касательных. 27
Метод итераций 28
Теорема о сходимости итерационной последовательности 29
Критерий окончания итерационного процесса 29
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 30
Семинары 2,3 34
Тема: Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одной неизвестной 34
Лабораторная работа: метод бисекции. 35
Лабраторная работа: метод Ньютона 36
Литература: 37
37