- •Розділ II Визначений інтеграл
- •§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом
- •§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла
- •§3. Властивості визначеного інтеграла
- •Приклад 3.1.
- •Звернемо увагу, що зворотне твердження не завжди вірне. Приклад 3.2. Функція
- •§4. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею
- •Основним наслідком цієї леми є
- •§5. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Зокрема, коли одержимо
- •§6 Основні правила визначеного інтегрування
- •Приклад 6.1.
- •§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл
- •§8. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
Розділ II Визначений інтеграл
§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом
Нехай функція, визначена на відрізку прямої зі значеннями в . Розглянемо спосіб означення інтеграла від функції за допомогою сум Коші- Рімана.
Будемо казати, що задається розбиття сегменту на частинні інтервали, якщо задані точки такі, що , .
Позначимо через . Тоді величину
називають рангом або діаметром розбиття .
Довільним чином виберемо по одній точці на кожному відрізку , та складемо суму виду
.
Позначимо її через , або коротко . Ця сума називається інтегральною сумою Рімана функції на відрізку .
Якщо невід'ємна функція на , то цілком ясно, що інтегральна сума приблизно визначає площу криволінійної трапеції як фігури, що обмежена зверху графіком функції , знизу − відрізком осі , а з боків відрізками прямих та . Коли (тим самим ), то зрозуміло, що є сенс вважати: площа криволінійної трапеції дорівнює границі інтегральної суми , „якщо остання існує”. Відмітимо, що коли не завжди .
Означення. Дійсне число називають границею інтегральної суми , коли , якщо для будь-якого існує , таке, що для всіх , діаметри яких менші , та будь –яких , виконується нерівність
або
.
У цьому випадку коротко пишуть
.
Число називають визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають позначення Лейбніца.
Таким чином,
,
число називають нижньою границею інтеграла, верхньою, змінною інтегрування, підінтегральною функцією, підінтегральним виразом.
Якщо для функції існує , то функція називається інтегрованою за Ріманом на . Клас таких функцій позначається через .
Отже, якщо невід'ємна функція, то площу криволінійної трапеції можна обчислити через визначений інтеграл від функції на відрізку .
Відмітимо, що коли , то для будь якого розбиття
,
а тому
що зрозуміло з геометричної точки зору: площа прямокутника зі стороною та висотою .
Зауваження. Перше означення інтеграла як границі інтегральних сум належить Коші. Для неперервної функції він розглянув суми
,
і довів, що ця послідовність фундаментальна, а тому існує її границя, і поклав
.
Подальше узагальнення інтеграла належить Ріману, який замість сум увів більш загальні суми .
§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла
Теорема. Якщо , то функція обмежена на .
Доведення. Припустимо, що необмежена на . Проведемо розбиття відрізку і нехай на функція не є обмеженою. Запишемо інтегральну суму у вигляді
.
Те, що необмежена на , означає, що для будь – якого, досить великого, на знайдеться точка така, що .
Візьмемо послідовність . Тоді для
Зрозуміло, що
,
а тому
і
.
Це означає, що вибором проміжних точок можливо інтегральну суму зробити за модулем більшою будь-якого наперед заданого додатнього числа, а тому інтегральні суми не будуть мати скінченої границі, коли . За умовою , що означає існування скінченої границі. Одержали протиріччя.
Наслідок. Якщо визначена і необмежена на , то вона неінтегруєма за Ріманом на .
Наприклад,
необмежена на , а тому неінтегруєма на .
Наступний приклад показує, що обмежена функція може бути неінтегруємою за Ріманом на .
Приклад 2.1. Нехай
де множина раціональних чисел, .
У будь-якому відрізку є як раціональні, так і ірраціональні точки. Виберемо спочатку всі , а тому
.
Якщо тепер взяти всі , то і
.
А тому не існує границі множини інтегральних сум, коли .
Зрозуміло, що функція (функція Діріхле) неінтегруєма на , але обмежена.
Без доведення відмітимо достатню умову існування визначеного інтеграла від обмеженої функції : якщо така, що для будь-якого можливо вказати скінчену кількість інтервалів, які покривають множину точок розриву цієї функції, і сума довжин цих інтервалів дорівнює , то функція інтегруєма на .
Тоді зрозуміло, що:
Обмежена і неперервна функція всюди на за виключенням скінченої кількості точок (точок розриву), інтегруєма на .
Обмежена і монотонна функція інтегруєма на .
Якщо обмежені функції та такі, що , за виключенням скінченої кількості точок, і функція , то і
.
Приклад 2.2.
Функція .
Приклад 2.3. Функція
інтегруєма на . Точки розриву цієї функції
Для будь-якого на існує нескінчена кількість точок розриву, а зовні його скінчена, нехай їх кількість дорівнює . Кожну з них можна накрити інтервалом довжиною , а тому всі точки розриву на можна накрити інтервалами, сума довжин яких
.