- •Розділ II Визначений інтеграл
- •§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом
- •§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла
- •§3. Властивості визначеного інтеграла
- •Приклад 3.1.
- •Звернемо увагу, що зворотне твердження не завжди вірне. Приклад 3.2. Функція
- •§4. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею
- •Основним наслідком цієї леми є
- •§5. Формула Ньютона-Лейбніца
- •Зокрема, коли одержимо
- •§6 Основні правила визначеного інтегрування
- •Приклад 6.1.
- •§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл
- •§8. Наближені методи обчислення визначених інтегралів
Основним наслідком цієї леми є
Теорема. Неперервна на відрізку функція має на цьому відрізку первісну, причому будь-яка первісна для функції на має вигляд
,
де деяка стала.
Дійсно, , за лемою 2 функція , яка визначена формулою (4.1), є первісною для функції , а дві первісні та для однієї ї тієї ж функції відрізняються на сталу.
Відмітимо, що теорема стверджує , що існує первісна для функції і в цьому її заслуга. Більш того, якщо неперервна всюди на , окрім скінченої кількості точок розриву, то первісна для функції також існує. Якщо , то тим більш вона інтегрована за Коші.
Приклад 4.1. Нехай
Тоді , оскільки , .
Відмітимо, що
(4.3)
Приклад 4.2. Нехай
Для знаходження використаємо адитивну властивість інтеграла, формули (4.2), (4.3) і правило диференціювання складної функції. Тоді
.
При знаходженні ми не шукали попередньо первісну, тим більше, що вона існує, але не в класі елементарних функцій.
І, накінець, відмітимо, що коли та функція , при умові, що неперервна справа в точці або зліва, якщо , має в цих точках односторонню похідну, праву, коли і ліву, коли , рівну та відповідно.
Інтеграл зі змінною верхньою границею часто використовують для означення нових, неелементарних функцій. Такими, наприклад, є
,
де інтегральний синус, а останні дві інтеграли Френеля.
§5. Формула Ньютона-Лейбніца
Одержимо формулу обчислення інтеграла за допомогою первісних функцій.
Теорема. Якщо , то
(5.1)
де будь-яка з первісних для функції .
Дійсно, існування доказано за лемою 2 §4, причому
(5.2)
де стала.
Покладемо в (5.2) і одержимо , тоді
.
Зокрема, коли одержимо
тобто
що з точністю до позначення змінної інтегрування співпадає з ( 5.1).
Фундаментальне для всього аналізу співвідношення (5.1) називають формулою Ньютона-Лейбніца.
Різницю значень будь-якої функції часто записують символом . У цих позначеннях формула Ньютона —Лейбніца має вигляд
(5.3)
При цьому може бути меншим за , рівним і більшим за . В останньому випадку обидві частини (5.3) одночасно змінюють знак на протилежний при перестановці місцями і .
Формула (5.3) зв’язує визначений інтеграл з невизначеним. Запис справа в (5.3) показує, що треба у функцію підставити значення , потім в ту саму функцію підставити і друге число відняти від першого.
Приклад 5.1. Як відомо, однією з первісних для функції є , а тому
.
Якщо , то результату (5.4) можливо надати слідуючий геометричний зміст: площа фігури обмежена дугою параболи , відрізком осі абсцис, та ординатою в точці , дорівнює частини площі прямокутника .
Таким чином, інтегральне числення дозволяє побудувати первісну для неперервної функції і зворотньо, якщо відома первісна для функції, то можливо обчислити інтеграл на відрізку, де функція є неперервною.
У прикладах по аналізу в більшій мірі використовують формулу (5.3) для обчислення інтеграла зліва. Формула справедлива і для функції обмеженої на і яка має скінчену кількість точок розриву.
Первісну знайти в класі елементарних функцій не завжди можливо, а тому конкретні інтеграли рідко знаходять через первісну, а часто використовують прямий рахунок на ЕВМ відповідно з численними методами обчислення інтегралів.
Приклад 5.2. Обчислити інтеграл
,
якщо та .
Розв'язання. Функція неперервна на , коли , а тому вона належить . Проінтегруємо її за Коші. Розіб’ємо відрізок точками , виберемо точки . Нагадаємо, що .
Позначимо через , і отримаємо
.
Тоді інтегральна сума за Коші
.
Як відомо, , а тому
,
тоді
.
Якщо , то , так як коли .
Якщо , то запишемо наступним чином:
і отримаємо, що . Отже,
Відмітимо, що коли , то функція буде необмеженою на .
Якщо не пам’ятати, що формула (5.3) справедлива за конкретними умовами, можна прийти до абсурду.
Приклад 5. 3.
в той час, як і . Але функція є необмеженою на відрізку і тому неінтегруєма за Ріманом. Нагадаємо ще раз: рівність повинна виконуватись для всіх . У даному випадку рівність не має сенсу в точці .
Зауваження. Якщо в лінійному просторі множини дійсних функцій ввести скалярний добуток за правилом
то має місце нерівність Коші-Буняковського
яку часто використовують для доведення нерівностей (оцінок інтегралів).
Приклад 5.4. Довести, що
.
За нерівністю Коші-Буняковського
а тому за оцінкою маємо
оскільки .