- •Розділ ііі Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії та розв’язку задач з фізики та механіки
- •§1. Поняття плоскої множини
- •§2. Площа криволінійної трапеції
- •§3. Площа фігури в полярних координатах (площа криволінійного сектора)
- •§4 Крива. Обчислення довжини дуги кривої
- •§5. Диференціал довжини кривої (диференціал дуги)
- •§6. Об’єм тіла. Об’єм тіла обертання
- •§7. Площа поверхні обертання
- •§8. Фізико-технічні застосування визначеного інтеграла
- •Якщо на неперервній кривій рівномірно розподілена маса з лінійною щільністю , то статичними моментами та моментами інерції кривої г відносно осей координат називаються відповідно величини:
Якщо на неперервній кривій рівномірно розподілена маса з лінійною щільністю , то статичними моментами та моментами інерції кривої г відносно осей координат називаються відповідно величини:
, (8.3)
, (8.4)
а координати її центра ваги обчислюються за формулами :
, (8.5)
де l – довжина кривої Г.
Припустимо, що криволінійна трапеція лежить з одного боку вісі і що матеріал, з якого вона зроблена, однорідний. Тоді статичними моментами та моментами інерції цієї трапеції відносно осей та називаються відповідно величини:
, (8.6)
, (8.7)
а координати її центра ваги знаходяться за формулами
, (8.8)
де S – площа трапеції.
Приклад 8.8 Знайти координати центра ваги однорідної дуги астроїди , розташованої в першому квадранті.
Розв'язання. Ця дуга симетрична відносно бісектриси , а тому . Як відомо, довжина цієї дуги (приклад 4.1 розділу ІІІ)
.
Тоді
Отже, .
Приклад 8.9. Знайти координати центра ваги однорідної фігури розташованої в першому квадранті і обмеженої дугою астроїди та координатними осями.
Розв'язання. З урахуванням, що фігура має симетрію відносно прямої , маємо , а тому за формулою (8.8) маємо
;
Отже .