3 Расчетно-проектировочное задание №3. Расчет статически определимой балки при изгибе

3.1 Расчеты на прочность при изгибе

При прямом поперечном изгибе балки в ее поперечных сечениях возникают нормальные σ и касательные напряжения τ.

Нормальные напряжения в любом слое произвольного поперечного сечения можно определить по формуле Навье:

(3.1)

где М_Х - изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

у – текущая ордината до рассматриваемого слоя поперечного сечения, отсчитываемая от нейтральной оси сечения;

I_X – осевой момент инерции поперечного сечения.

Из анализа формулы (4.1) следует:

− нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону, то есть эпюра нормальных напряжений очерчивается наклонной прямой, проходящей через центр тяжести сечения.

− наибольшие нормальные напряжения возникают в волокнах балки, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Знак нормальных напряжений определяется знаком изгибающего момента в рассматриваемом сечении. Если сжаты верхние волокна балки (положительное значение изгибающего момента), то в них соответственно будут возникать сжимающие нормальные напряжения со знаком «минус». Нижние волокна балки будут растянуты, а действующие в них нормальные напряжения будут положительными.

Оценка прочности по нормальным напряжениям для балки постоянной жесткости производится по формуле

, (3.2)

где M_mах − наибольший (по абсолютной величине) изгибающий момент;

W_x – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки;

[σ] – допускаемое напряжение для заданного материала.

Для определения касательных напряжений в любом слое произвольного поперечного сечения при изгибе используется формула Журавского:

(3.7)

где Q − поперечная сила в рассматриваемом сечении;

− статический момент части сечения, находящейся над исследуемым слоем;

b− ширина исследуемого слоя;

I_x – осевой момент инерции поперечного сечения.

Касательные напряжения по высоте сечения изменяются по параболическому закону, причем своего максимального значения они достигают в нейтральном слое. Знак касательного напряжения зависит от знака действующей в рассматриваемом сечении поперечной силы.

Оценка прочности балки по касательным напряжениям для балки постоянной жесткости производится по условию прочности:

(3.8)

где Q_max – наибольшая (по абсолютной величине) поперечная сила.

При прямом поперечном изгибе материал балки в общем случае испытывает плоское напряженное состояние. Оценка прочности материала балки в опасной точке опасного сечения выполняется с применением III и IV теорий прочности:

(3.9)

(3.10)

При этом следует учитывать, что для проверки прочности по эквивалентным напряжениям опасным сечением является такое сечение, в котором одновременно действуют максимальный изгибающий момент и поперечная сила. Причем следует учитывать, что изгибающий момент вызывает более значительные напряжения. Если такое сечение отсутствует, то необходимо проводить проверку по нескольким сечениям.

Главные напряжения вычисляются по формуле

, (3.11)

где σ_z ,σ_y ,τ_xy – действующие в опасном сечении нормальные и касательное напряжения.

Главные напряжения обозначаются σ₁, σ₂, σ₃, соотношение между которыми следующее:

. (3.12)

При плоском напряженном состоянии одно из главных напряжений равно нулю. Главные напряжения действуют на главных площадках, положение которых определяется углом поворота α:

. (3.13)

Положительный угол α обеспечивается поворотом исходных площадок против хода часовой стрелки. Максимальное главное напряжение действует по той грани, по которой в исходном состоянии действовало максимальное исходное напряжение и которую повернули на угол α и направлено оно будет в ту сторону, где как бы сходятся касательные напряжения.