- •1.Основні поняття і символіка:
- •2.Заміна змінних.
- •Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу
- •1. Рівняння коливання струни.
- •2. Задача Коші для нескінченної струни.
- •3. Вільні коливання напівнескінченної струни.
- •4. Вільні коливання скінченої струни.
- •5. Вільні коливання прямокутної мембрани.
- •5.1 Крайова задача.
- •6.Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.
- •2.Подача коефіцієнтів через г-функцію.
- •7. Коливання круглої мембрани.
- •8.Одномірне рівняння теплопровідності. Задача Коші.
- •Можна довести, що функція (а) задовольняє одномірне рівняння теплопровідності, через це називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.
- •Точковий імпульс.
- •9.Теплопровідність у скінченому стержні.
- •9.1 Крайова задача
- •9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.
- •10. Еліптичні рівняння.
- •10.1 Задача Діріхле.
- •10.1.1 Задача Діріхле для круга.
- •10.1.2 Задача Діріхле для кулі.
- •10.1.3 Розв’язання задачі Діріхле.
- •11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле
- •12. Функція Гріна.
- •13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює
- •14.Задача Діріхле для напівпростору.
- •15. Задача Штурма-Ліувілля.
- •16. Одна спеціальна крайова задача.
8.Одномірне рівняння теплопровідності. Задача Коші.
Нехай тонкий теплопровідний стержень розміщений вздовж осі , так що температуру в кожному її перерізі можна вважати функцією тільки абсциси і часу Бічна поверхня стержня теплоізольована.
Задача Коші для однорідного рівняння теплопровідності:
Знайти розв’язок рівняння , (1)
яке задовольняє умову (2)
якщо
З адача Коші описує температурний режим у нескінченному стержні із заданим початковим температурним режимом
U(t,x)- температура стержня в момент часу t в точці х.
0 х
Задача без межових умов називається задачею Коші. Будемо вважати, що поверхня стержня теплоізольована. Це рівняння лінійне однорідне:
Розв’язуємо задачу методом Фур’є.
Подаємо шукану функцію у вигляді добутку відокремлених змінних.
Підставимо
Внаслідок відсутності межових умов (стержень нескінчений) може набувати значення від до . Тому замість підсумування (яке використовується в методі Фур’є, при накладанні стоячих хвиль, що мають дискретні власні значення) ми повинні накладати розв’язки неперервно, тобто утворювати розв’язок рівняння (1) інтегруванням по в межах від до .
(*)
Використовуючи початкові умови знаходимо коефіцієнти
- інтеграл Фур’є для функції . Відомо, що коефіцієнти подаються формулами:
Висновок.
Розв’язок задачі Коші подається інтегралом (*), коефіцієнти подаються формулами (**).
Перетворення інтеграла (*).
Якщо у рівність(*) підставити значення і , то дістанемо
Для фізичного тлумачення цього розв’язку змінюємо порядок інтегрування. Дістанемо
Обчислюємо внутрішній інтеграл:
1) ;
Дістаємо
Розглянемо інтеграл:
У показнику степеня виділяємо повний квадрат:
Дістаємо
В иконуємо заміну змінних
-А 0 А
В останньому інтегралі можна вважати дійсним. Пояснюється так: утворимо прямокутник, інтеграл по замкненому контуру (на малюнку) дорівнює нулю, отже інтеграл по верхньому відрізку дорівнює інтегралу по нижньому.
Якщо спрямувати А до то дістанемо те, що вимагалось. Враховуючи, що останній інтеграл дорівнює . Дістанемо
,
Остання формула подає температурний режим у нескінченому стержні при заданому початковому розподілі температур.
Зауваження. Щоб переконатись, що функція є розв’язком вказаної задачі Коші, потрібно довести, що вона задовольняє рівняння (1) і початкову умову(2).
(А) - задовольняє рівняння(1), тому називається фундаментальним розв’язком задачі Коші .
Можна довести, що функція (а) задовольняє одномірне рівняння теплопровідності, через це називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.
З’ясувати поведінку цієї функції у випадках:
а) t – фіксована;
б) x – фіксована.
Фізичний імпульс. Так називається розподіл температури в нескінченному стержні, якщо початкова температура подана на рисунку.
0
. Площа прямокутника -
Знаходимо температурний режим при функції ,
. Застосовуємо теорему про середнє .