- •1.Основні поняття і символіка:
- •2.Заміна змінних.
- •Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу
- •1. Рівняння коливання струни.
- •2. Задача Коші для нескінченної струни.
- •3. Вільні коливання напівнескінченної струни.
- •4. Вільні коливання скінченої струни.
- •5. Вільні коливання прямокутної мембрани.
- •5.1 Крайова задача.
- •6.Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.
- •2.Подача коефіцієнтів через г-функцію.
- •7. Коливання круглої мембрани.
- •8.Одномірне рівняння теплопровідності. Задача Коші.
- •Можна довести, що функція (а) задовольняє одномірне рівняння теплопровідності, через це називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.
- •Точковий імпульс.
- •9.Теплопровідність у скінченому стержні.
- •9.1 Крайова задача
- •9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.
- •10. Еліптичні рівняння.
- •10.1 Задача Діріхле.
- •10.1.1 Задача Діріхле для круга.
- •10.1.2 Задача Діріхле для кулі.
- •10.1.3 Розв’язання задачі Діріхле.
- •11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле
- •12. Функція Гріна.
- •13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює
- •14.Задача Діріхле для напівпростору.
- •15. Задача Штурма-Ліувілля.
- •16. Одна спеціальна крайова задача.
9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.
.
Задача Коші для двовимірного рівняння теплопровідності.
Знайти функцію , яка задовольняє рівняння:
і початкові умови .
Розв’язок подається функцією
Аналогічно формулюється і розв’язується задача Коші для тривимірного простору.
10. Еліптичні рівняння.
Якщо процес стаціонарний (тепловий чи коливний), то рівняння, що його описує, записується у такому вигляді , (рівняння)
називається рівнянням Лапласа.
О. Функція, яка задовольняє рівняння Лапласа в деякій області, називається гармонічною в цій області.
Якщо функція аналітична в деякій області, то і дійсна та уявна частини є функції гармонічні в цій області (потрібно використовувати умови Коші-Рімана).
, то і - гармонічні в .( ; .
Приклад 1.
– функції гармонічні скрізь крім (0;0);
Приклад 2 . гармонічні в ;
Приклад 3. – функція гармонічна скрізь, крім точки .
Дійсно:
В наслідок симетричності
Приклад 4.
Приклад 5. – гармонічна.
– гармонічна, – гармонічна.
10.1 Задача Діріхле.
Знайти гармонічну в області D функцію, яка на межі Г цієї області дорівнює заданій функції .
10.1.1 Задача Діріхле для круга.
y
Знайти гармонічну в крузі функцію, яка задовольняє умову
.
х Постановка задачі в п олярних координатах .
- оператор Лапласа в полярних
координатах;
Задача. Знайти функцію u, яка задовольняє рівняння
і має задане значення на колі (межі круга)
Розв’язання (метод Фур’є).
Підставляємо вирази у рівняння, маємо:
Перше рівняння системи –це рівняння Ейлера, друге звичайне диференціальне рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами.
,
( ) =0;
Т=2 . ;
2 ;
Знаходимо обмежені розв’язки задачі Діріхле ,тому
Дістаємо зчислену кількість розв’язків задачі Діріхле :
оскільки рівняння однорідне, то
(*)
Для знаходження використовуємо межову умову.
Справа дістали ряд Фур’є для
(**)
Висновок.
Розв’язок задачі Діріхле для круга подається рядом , коефіцієнти якого обчислюються за формулою (**).
Перетворення ряду.
У (*) підставляємо і з (**).
;
;
, (***)
де - ядро Пуассона, а весь інтеграл - це інтеграл Пуассона.
Зауваження: при виведенні формули (***) ми вважали, що розв’язок задачі Діріхле, тобто шукана функція існує, крім цього, ми скористалися розкладом функції в ряд Фур’є, що не обов’язково має місце, тому потрібно перевірити, що формула (***), тобто інтеграл, що стоїть в правій частині цієї формули дає гармонічну функцію всередині круга і функція є граничним значенням цього інтеграла на колі (межі круга).
Приклад. Зведення оператора Лапласа до полярних координат