Обработка результатов прямых и косвенных измерений

Методические указания по практическим занятиям по курсу

“Основы метрологии”

В науке и технике измерения занимают центральное место. Прогресс в этих облас­тях зачастую связан с повышением их точности. Из-за неизбежных (отчасти исключае­мых, но все же имеющих место) погрешностей измеренное значение не соответствует в точности истинному значению. Чтобы результат измерения можно было далее исполь­зовать, необходимо указывать значения погрешностей измерений.

В зависимости от постановки задачи применяют различные параметры, характери­зующие погрешность измерений. В физических и научных измерениях погрешность за­дается в виде параметра распределения случайной величины, в частности в виде сред­него квадратического отклонения (СКО) генеральной совокупности (величина а).

В технике, особенно при необходимости обеспечения взаимозаменяемости уст­ройств, интерес представляет максимальное значение погрешности. Так как это значе­ние не всегда можно указать, на практике довольствуются границами, которые с высо­кой вероятностью (например, ) не будет превышена. Это доверительная грани­ца или погрешность измерений для вероятности .

Расчет погрешности измерений проводится на основании обработки статистических данных, полученных на основе эксперимента или на основе эксплуатационных сведе­ний, и включает следующие этапы:

1. Построение вариационного ряда.

2. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы.

3. Принятие решения о виде закона распределения случайной величины.

4. Расчет величин оценок для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

1. Обработка результатов измерений. Прямые многократные измерения

1.1. Равноточные измерения

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Равноточны­ми называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точ­ности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточ­ных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группиру­ются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Задача обработ­ки многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207 - 76 ГСИ. Прямые измерения с мно­гократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие поло­жения".

Исходной информацией для обработки является ряд из результатов измере­ний , , ,..., , из которых исключены известные систематические погрешности, является выборка. Число зависит как от требований к точности получаемого резуль­тата, так и от реальной возможности выполнить повторные измерения.

1.2. Определение объема выборки

Статический анализ точности технологического процесса производится с помощью измерения партии деталей – больших и малых выборочных совокупностей.

Основными понятиями в теории выборочного метода является генеральная сово­купность – это совокупность всех возможных элементов (деталей), которым присущ ин­тересующий исследователя признак, и выборочная совокупность (выборка) – множество части элементов, которые отбираются из генеральной совокупности для получения дос­товерных сведений о всей совокупности.

Число деталей образующих выборку, составляет ее объем. Большой считается вы­борка объемом , а малой – .

Большие выборки по отношению ко времени их образования могут быть единовре­менными и текущими. Единовременной является выборка, которая отобрана из партии деталей после их изготовления. Для обеспечения представительности выборки все де­тали, входящие в выборку, должны быть тщательно перемешаны между собой.

Текущей является выборка, которая состоит из деталей, последовательно изготов­ленных за определенный промежуток времени на данном станке, при данной настройке.

Качественно однородная совокупность может быть составлена из деталей, обрабо­танных только на данной операции.

От правильного определения объема выборки зависит объем исследования, сроки в которые оно будет проведено, финансовые затраты и ряд других организационных про­блем, а также, что особенно важно, точность и надежность результатов производствен­ного исследования.

Как правило, при технологических исследованиях используют выборочную сово­купность.

Надежность а в технологии машиностроения и приборостроения обычно принима­ют равной или ( -й или -й уровень надежности).

Наиболее простым методом определения необходимого объема выборки является метод с использованием таблицы достаточно больших чисел [3].

Обычно в производственных условиях с достаточной точностью и надежностью объем больших выборок составляет шт. При этом если надежность , то погрешность оценки среднего арифметического значения составляет , а погрешность оценки среднего квадратичного отклонения со­ставляет .

1.3. Оценка грубых погрешностей эксперимента

Иногда при проведении анализа технологических процессов встречаются случаи, когда в результаты эксперимента вкрадывается грубая погрешность измерения или об­работки.

Грубая погрешность измерения может возникнуть в результате просчетов исследо­вателя при измерении деталей, неправильного выбора измерительных баз, перекосов деталей при измерении, вибраций во время измерения деталей.

Грубая погрешность обработки может явиться следствием погрешности базирова­ния деталей при их обработке, погрешностей заготовки, которые приводят к значительным перекосам детали на позиции обработки, к появлению "черноты" на обработанных деталей из-за недостаточного припуска.

Грубые погрешности измерения и обработки нередко оказывают решающее влияние на оценку точности технологических процессов и приводят к тому, что отдельные ре­зультаты наблюдений по своей величине значительно отличаются от других. Если ис­следователь убежден, что такие наблюдения являются результатом ошибки, то эти на­блюдения не следует учитывать при последующем анализе. Если же такой уверенности нет, то для определения того, являются ли резко выделяющиеся измерения результатом грубой ошибки или случайного отклонения, необходимо использовать определенные методы обнаружения грубых погрешностей [1].

1.3.1. Метод Ирвина

По данным выборки определяют характеристики и . Все опытные данные вы­борки располагают в возрастающем или убывающем порядке. Из полученного ряда вы­бирают два наибольших или наименьших значения случайной величины и и вычисляют величину

. (1)

По табл. 1 в зависимости от объема выборки при надежности находят критическое значение .

Таблица 1

N	20	30	50	100	400	1000
	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8

Если , то оцениваемый результат является случайным отклонением и отбра­сывать его нельзя. Если же , то наибольшее или наименьшее значение может быть отброшено. В этом случае после исключения грубой ошибки необходимо снова вычислить характеристики распределения и .

1.3.2. Метод Романовского

При этом методе на основе полученных опытных данных выборки вычисляют ха­рактеристики и , предварительно исключив из нее резко выделяющееся значение ;

Затем определяют величину по формуле:

(2)

Допустимые значения приведены в табл. 2.

Таблица 2

N	20	25	30	40	50	120
	2,14	2,10	2,08	2,05	2,02	1,99

Если , то является случайным отклонением и его отбрасывать нельзя. Если же , то резко выделяющееся значение , является грубой ошибкой и должно быть исключено из выборки.

При использовании данного метода после исключения из выборки резко выделяю­щихся значений отсутствует необходимость повторного пересчета характеристик и .

1.4. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерения

Среднее арифметическое значение измеряемой величины определяется по фор­муле:

. (3)

При сгруппированных данных

. (4)

где – количество разрядов, в которых сгруппированы результаты измерений; – се­редина разряда; – частота исследуемого признака, попавшего в заданный разряд (ин­тервал).

СКО результата измерения определяется по формуле:

, (5)

где – оценка СКО.

СКО среднего арифметического значения – определяется по формуле:

. (6)

1.5. Определение закона распре деления результатов измерений или случайных по­грешностей измерений.

В последнем случае от выборки результатов измерений , , ,..., переходят к выборке отклонений от среднего арифметического , , ,..., , где .

Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений вариационного ряда (упорядоченной выборки). В вариационном ряду результаты измерений располагают в порядке возрастания , где , . Далее этот ряд разбивается на ряд одинако­вых разрядов . Выбор числа разрядов q при построении эмпирического распределения зависит не только от объема экспериментальных данных, но и от формы распределения случайной величины. Для практического применения целесообразно использовать вы­ражения [1]:

и .

При этом рекомендуется выбирать число нечетным, так как четное число мо­жет исказить форму распределения для островершинного и двумодальнего симмет­ричного распределения.

Далее определяют разряды группирования экспериментальных данных в виде ; ); ; … , и подсчитывают число попаданий (частоты) результатов измерений в каждый разряд группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую.

Пример 1. Рассчитать статистические характеристики ряда измерений физиче­ской величины, и построить его эмпирические характеристики.

1,09 1,25 1,19 1,31 1,30 1,05 1,27 1,45 1,31 1,30

1,56 1,36 1,16 1,37 1,11 1,58 1,32 1,48 1,39 1,41

1,58 1,46 1,30 1,36 1,30 1,56 1,12 1,32 1,35 1,34

1,31 1,21 1,29 1,29 1,30 1,30 1,24 1,38 1,27 1,30

1,50 1,34 1,46 1,33 1,17 1,30 1,31 1,45 1,33 1,18

1,31 1,20 1,41 1,38 1,27 1,29 1,20 1,42 1,38 1,39

1,25 1,14 1,34 1,28 1,33 1,39 1,14 1,44 1,38 1,43

1,23 1,26 1,26 1,35 1,22 1,43 1,30 1,26 1,35 1,50

1,46 1,30 1,30 1,27 1,24 1,18 1,28 1,29 1,44 1,25

1,36 1,18 1,36 1,22 1,21 1,38 1,16 1,36 1,24 1,19

Решение. 1) Для построения эмпирического закона распределения результаты измерений располагаются в порядке возрастания (строится вариационный ряд)

Между крайними значениями ряда вычисляется разность, называемая размахом выравнивания или широтой распределения:

.

Определяется возможное число разрядов :

после округления которых, имеем . Принимаем . Определяем ширину разряда:

.

Здесь округление произведено в большую сторону до числа десятичных разрядов, рав­ных полученным экспериментальным данным. Так как правая граница последнего раз­ряда определяется как

,

то, следовательно, округление величин в большую сторону приведёт к тому, что величина . Поэтому правую границу принимают равной . При этом ширина последнего разряда будет меньше, чем у остальных. Если число округляется в меньшую сторону, то величина , или несколько ближайших к ней величин, окажутся за пределами правой границы последнего разряда. И в этом случае за правую границу последнего разряда принимают величину , но ширина его будет больше, чем у остальных.

2) Определяются границы разрядов и числа – количество результатов измерений, попадающих в каждый разряд . Для вычисления целесообразно все данные свести в табл. 3.

Таблица 3

Номер разряда	Границы разряда		Середина разряда	Частота
1	1,05	1,13	1,09	4	4,36	-0,23	0,0529	0,2116
2	1,13	1,21	1,17	12	14,04	-0,15	0,0225	0,2700
3	1,21	1,29	1,25	20	25,00	-0,07	0,0049	0,0980
4	1,29	1,37	1,33	36	47,88	0,01	0,0001	0,0036
5	1,37	1,45	1,41	16	22,56	0,09	0,0081	0,1296
6	1,45	1,49	1,49	8	11,92	0,17	0,0289	0,2312
7	1,53	1,56	1,56	4	6,24	0,24	0,0576	0,2304
	-	-	-	100	132			0,0119

3) Для вычисления среднего арифметического суммируются данные колонки 6 табл. [3].

.

4) Для вычисления дисперсии и СКО выполняется ряд промежуточных действий:

- определяются отклонения от среднего (колонка 7);

- определяются квадраты отклонений от среднего (к. 8);

- определяются произведения квадратов отклонений от среднего на частоту (к, ).

Дисперсия .

СКО .

5) Вычисляем СКО среднего арифметического:

.

По полученным значениям строится гистограмма. При построении гистограммы как с равными, так и с неравными интервалами значений величины по оси абсцисс сле­дует иметь в виду, что масштабом частности (или частоты ) должна быть не высота, а площадь соответствующего прямоугольника, в то время как масштаб величи­ны по оси ординат – линейный.

Для получения выразительной конфигурации эмпирической кривой распределения имеет значение и выбор масштабов по осям. Целесообразно сделать так, чтобы высота гистограммы относилась к основанию как 1:2 или 2:3 (рис.1).

Полигон представляет собой ломанную линию, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы. Он более наглядно, чем гистограмма, отра­жает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абс­цисс (рис.1).

Кумулятивная (интегральная) кривая – это график (рис.2) статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений откладывают ин­тервалы в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоуголь­ник высотой

(7)

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения ре­зультатов измерений.