- •Конспект лекцій
- •7.090702 "Радіоелектронні пристрої, системи та комплекси";
- •7.090701 "Радіотехніка",
- •7.090703 "Апаратура радіозв’язку, радіомовлення та телебачення"
- •1 Основні поняття і визначення
- •2 Класифікація систем радіоавтоматики
- •3 Типові системи радіоавтоматики
- •4 Математичний опис автоматичних систем
- •4.1 Складання диференціального рівняння елемента автоматичної системи
- •4.2 Статичні і динамічні властивості елементів
- •4.3 Перетворення Лапласа
- •4.4 Перетворення Фур'є
- •4.5 Передатна функція
- •4.6 Перехід від передатної функції до частотної характеристики
- •4.7 Логарифмічні частотні характеристики
- •Контрольні запитання
- •6 Перехідна й імпульсна перехідна функції
- •7 Типові лінійні ланки і їхні з'єднання
- •7.1 Підсилювальна ланка
- •7.2 Інерційна ланка
- •7.4 Ланка, що диференціює
- •7.5 Ланка чистого запізнювання
- •7.6 Передатні функції з'єднань ланок
- •7.7 Передатна функція для збурювання
- •8 Перехід від функціональної схеми системи ра до її структурної схеми
- •9 Правила структурних перетворень
- •9.1 Правило переносу точки знімання
- •9.2 Правило переносу точки підсумовування
- •10 Функціональні і структурні схеми систем радіоавтоматики
- •10.5 Структурна схема узагальненої (типової) системи радіоавтоматики
- •11 Імпульсні системи радіоавтоматики
- •12 Поняття про дискретні функції і різницеві рівняння
- •13 Дискретне перетворення лапласа і
- •Звичайне пряме перетворення
- •14 Передатні функції імпульсних автоматичних систем
- •15 Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи
- •16 Якість процесів у лінійних імпульсних системах
- •17 Цифрові системи радіоавтоматики
- •18 Цифрова фільтрація
4 Математичний опис автоматичних систем
Будь-яка система радіоавтоматики (РА) складається з ряду елементів (ланок). Для кожного елемента характерний зв'язок між його входом і виходом. Він виражається диференціальним рівнянням. Система РА описується системою диференціальних рівнянь.
4.1 Складання диференціального рівняння елемента автоматичної системи
Конкретний вид диференціального рівняння залежить від фізичної природи і властивостей елемента.
Розглянемо як приклад інерційну RC- ланку (рис. 4.1):
Якщо визначити х та y як відповідно вхідну і вихідну напруги цієї ланки, то згідно з теорією електричних кіл можна записати таке рівняння:
З урахуванням того, що отримаємо таке рівняння:
Позначимо RC=T, тоді можна записати:
Уведемо до розгляду символ диференціювання за часом Цей штучний (але по суті вірний) прийом дозволяє переписати отримане диференційне рівняння у формі: Винесемо вихідну напругу y за дужки і остаточно отримаємо: .
Відзначимо, що вираз називається операторним коефіцієнтом передачі інерційної (у даному випадку) ланки.
4.2 Статичні і динамічні властивості елементів
Після подачі на вхід елемента деякого впливу на його виході виникає перехідний процес, по закінченні якого настає стаціонарний стан.
Статична характеристика - це залежність, що зв'язує між собою стаціонарні вхідну і вихідну величини.
Прикладом статичної характеристики може служити залежність між напругою на виході частотного дискримінатора і відхиленням частоти сигналу від його номінального значення (рис.4.2).
Рисунок 4.2 – Статична характеристика дискримінатора
Динамічна характеристика - це залежність, що зв'язує між собою зміни вхідної і вихідної величин у перехідному режимі.
4.3 Перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа має дві взаємозалежні форми – пряму і зворотну.
Пряме перетворення описується так:
,
де x(t) – оригінал функції, тобто функційна залежність у часовому вимірі;
x(p) – зображення функції x(t) за Лапласом, тобто у вимірі комплексної змінної .
Зворотне перетворення вводиться у розгляд так:
,
що дозволяє відшукати оригінал функції x(t) по її зображенню X(p).
Існують такі методи відшукання оригіналу x(t): табличний та метод інтегрування у комплексній площині.
Глибинний сенс перетворення Лапласа полягає у тому, що за його допомогою стає можливим здійснити перехід від вихідних диференційних рівнянь, що описують систему РА у просторі комплексної змінної р .
На рис. 4.3 наведено загальну структурну схему ланки системи РА, яка описується коефіцієнтом передачі R(p). На цьому рисунку G(p) та x(p) – відповідно сигнали у операторній формі на вході і виході ланки.
Рисунок 4.3 – Загальна структурна схема ланки системи РА з коефіцієнтом передачі R(p) у операторній формі.
Наприклад, якщо ланка є диференціатором, то R(p)=p.
Тоді Якщо ланка є інтегратором, то
Тоді
4.4 Перетворення Фур'є
Якщо в перетворенні Лапласа замінити оператор р на змінну j отримаємо перетворення Фур'є, яке також поділяється на пряме та зворотне.
Для прямого перетворення Фур'є маємо вираз
,
де x(jω) – спектральна функція дії x(t).
Зворотне перетворення Фур'є має вид:
.