- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина і. Подвійні інтеграли
- •Визначення, теорема існування та властивості подвійного інтеграла
- •Основні властивості подвійних інтегралів
- •1.2. Обчислення подвійних інтегралів в декартових координатах. Застосування зміни порядку інтегрування
- •Обчислення подвійних інтегралів в полярних координатах
- •Застосування подвійних інтегралів для обчислення площ плоских фігур, об’ємів циліндроїдів та площ поверхонь
- •Застосування подвійних інтегралів для обчислення маси, статичних моментів і моментів інерції та координат центра ваги плоских фігур
- •Частина іі. Потрійні інтеграли
- •2.1. Означення, теорема існування та властивості
- •Обчислення потрійних інтегралів в декартових, циліндричних та сферичних координатах
- •Розв’язання.
- •Застосування потрійних інтегралів для обчислення об’ємів
- •] Частина ііі. Завдання для самостійної роботи
- •3.1. Варіанти завдань а), б), в)
- •Для самостійної роботи з подвійних інтегралів
- •3.2. Варіанти завдань г), д), е) для самостійної роботи з потрійних інтегралів
Обчислення подвійних інтегралів в полярних координатах
Перетворення подвійного інтеграла в прямокутних декартових координатах до інтеграла в полярних координатах , , які пов’язані з прямокутними координатами співвідношеннями
, ,
здійснюється за формулою
(1.9)
.
Якщо область обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути і , і кривими і , то відповідні полярні координати змінюються в межах , і тоді
. (1.10)
Якщо ж область охоплює початок координат, то
, (1.11)
де – полярнt рівняння кривої, яка обмежує область .
Приклад.
Обчислити , де – область, обмежена кривою. .
Розв’язування. Рівняння кривої в полярних координатах записується . Тоді за формулою (1.10) маємо:
.
Застосування подвійних інтегралів для обчислення площ плоских фігур, об’ємів циліндроїдів та площ поверхонь
а) Площа плоскої фігури, обмеженої областю , виражається формулою
,
Якщо область визначена, наприклад, нерівностями , , то
(1.12)
Якщо область в полярних координатах визначена нерівностями , , то
(1.13)
Приклад.
Обчислити площу фігури, обмеженої колом радіуса .
Розв’язування. За формулою (1.13) маємо:
.
б) Об’єм циліндричного тіла, обмеженого зверху неперервною поверхнею , знизу – площиною і з боків – прямою циліндричною поверхнею, що вирізає на площині область , обчислюється за формулою
. (1.14)
Приклад.
Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями , , , і розташованого в 1 октанті.
Розв’язування. Це тіло обмежене зверху поверхнею , з боків – параболічним циліндром і площиною . Значить, воно є циліндричним тілом. Область обмежена параболою і прямими і . За формулою (1.14) маємо:
(од.)3.
в) Площа поверхні, яка задана рівнянням , виражається формулою:
, (1.15)
де – проекція даної поверхні на площину .
У випадку, коли – проекція поверхні на площину , то
.
Якщо – проекція поверхні на площину , то
Приклад.
Обчислити площу сфери радіуса .
Розв’язування. Хай центр сфери знаходиться в початку координат; тоді її рівняння буде . Будемо обчислювати площу ділянки, розташованої в 1 октанті. Тоді
; .
За формулою . Переходимо до полярних координат:
,
звідки
.
Застосування подвійних інтегралів для обчислення маси, статичних моментів і моментів інерції та координат центра ваги плоских фігур
Якщо пластинка займає область площини і має змінну поверхневу густину , то маса пластинки виражається подвійним інтегралом
(1.16)
Статичні моменти і фігури відносно координатних вісей і обчислюються за формулами:
, (1.17)
Координати центра ваги обчислюються за формулами:
; (1.18)
Моменти інерції , відносно координатних вісей , і момент інерції відносно початку координат – відповідно за формулами [6]:
,
|
(1.19) |
Приклад.
Знайти координати центра ваги пластинки, обмеженої параболою і прямою , якщо густина розподілу маси в кожній точці дорівнює ординаті цієї точки.
Розв’язування. Спочатку знайдемо масу пластинки. Тому що , то за формулою (1.16) одержимо:
.
Далі, за формулами (1.17) ,знаходимо і :
;
.
Тому за формулами (1.18) маємо:
, .
Приклад.
Обчислити момент інерції однорідного квадрата зі стороною, рівною , відносно однієї із його сторін.
Розв’язування. Сумістимо початок координат з однією із вершин квадрата, а координатні вісі і направимо вздовж його сторін, які, очевидно, виходять із цієї вершини. Тоді шуканий момент інерції можна знайти за формулою . Тому що , то
.