российский государственный социальный университет

Единак Е.А., Орлик Л.К.

Уравнения с частными производными первого порядка

Учебное пособие

Москва 2009

УДК 519.1

ББК 22.176

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор

Российского химико-технологического университета

им. Д.И. Менделеева

Гордеев Л.С.

Доктор физико-математических наук, профессор

Российского государственного социального университета

Куренков Н.И.

Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой курса высшей математики по разделам: обыкновенные дифференциальные уравнения математической физики для студентов очной, очно- заочной и заочной форм обучения по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Информатика».

Изложены базовые основы теории и практики уравнений с частными производными первого порядка, ставшими особенно актуальными в связи с математическим моделированием и прогнозированием процессов социодинамки, экологии и социальной медицины.

Пособие снабжено большим количеством модельных задач, примеров и упражнений для самостоятельного решения.

УДК 519.1

ББК 22.176

Оглавление

Оглавление 3

Введение 4

1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка 5

1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку 5

1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения 6

1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа 8

1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном) 10

1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок 12

1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения 14

2. Классификация УЧП первого порядка 16

3. Уравнения характеристик 18

4. Задача Коши. Метод характеристик 22

5. Задача Коши. Метод вариации произвольной постоянной 25

6. Задачи для самостоятельного решения 28

Задание 1 28

Задание 2 29

Задание 3 29

Рекомендуемая литература 31

Введение

Большинство фундаментальных физических законов природы можно сформулировать на языке частных производных. Например, закон теплопроводности Фурье, уравнение движения Ньютона, закон Гука, уравнения Максвелла, закон Нернста, уравнения Навье-Стокса и др. Производные появляются в математических формулировках законов потому, что они описывают важные физические величины: скорость, ускорение, поток, силу, трение, ток, качество движения, деформацию и др. Поэтому многие явления в таких областях как тепло- и массообмен, механика сплошных сред и газовая динамка, электричество и магнетизм, оптика и другие могут быть описаны с помощью уравнений с частными производными (УЧП).

Уравнения с частными производными второго порядка являются основным средством моделирования, а также качественного и количественного исследования в математической физике. Уравнения с частными производными первого порядка, с одной стороны, являются вспомогательными при решении уравнений второго порядка, а с другой – представляют и самостоятельный интерес как объекты исследований в геометрических приложениях, в задачах гидродинамики, токсокинетики, экологии, метеорологии, социодинамики.

При моделировании динамических процессов любой природы важно уметь составлять уравнения материального баланса. В пособии приведены оригинальные модельные задачи, использующие алгоритм составления таких уравнений. Изложен один из эффективных методов построения свойств решений УЧП первого порядка – метод характеристик, а также универсальный метод вариации произвольной постоянной. Для простоты изложения и не в ущерб общности рассмотрены задачи, в которых искомые решения являются функциями от двух переменных.

Учебное пособие написано в соответствии с программой по высшей математике (разделы: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики) для студентов очной, очно - заочной и заочной форм обучения по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Информатика».

Рекомендуется студентам как для аудиторной работы, так и для самостоятельного изучения базовых основ теории и практики уравнений с частными производными первого порядка. Может быть полезно специалистам, занимающимся моделированием широкого круга социально-экономических процессов.