- •Оглавление
- •Введение
- •1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка
- •1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку
- •1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения
- •1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа
- •1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном)
- •1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок
- •1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения
- •2. Классификация учп первого порядка
- •Типология учп первого порядка
- •3. Уравнения характеристик
- •Семейство прямых
- •Физическая интерпретация этого факта
- •4. Задача Коши. Метод характеристик
- •Физическая интерпретация полученного решения
- •5. Задача Коши. Метод вариации произвольной постоянной
1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок
Пусть вода просачивается через песок сверху вниз. Направим ось вниз. Через обозначим плотность воды в песке в точке х в момент времени . Скорость движения воды очевидно, зависит от ее плотности, то есть , где есть заданная функция, причем возрастает вместе с .
Рассмотрим баланс воды в слое . За время изменение количества воды равно
Это изменение происходит за счет разности входящего потока
и выходящего потока
Таким образом получаем УМБ:
Предполагая наличие непрерывных частных производных у функции и дифференцируемость сложной функции , применим теорему о конечном приращении:
и. теорему о среднем для определенного интеграла
Получим, преобразуя левую и правую части УМБ,
то есть
Разделив последнее равенство на и устремив , в силу непрерывности всех членов соотношения получим уравнение
Используя правило дифференцирования произведения, один из множителей которого является сложной функцией, получим
где
И окончательно,
(9)
Типичными задачами для уравнения (9) являются как с заданным начальным условием:
(10)
так с граничным условием:
(11)
то есть задается (11) - плотность воды либо на границе слоя песка на все моменты времени, либо (10) - на всей глубине просачивания в начальный (фиксированный) момент времени.
В отличие от уравнений в частных производных первого порядка (1), (2), (3), называемых линейными, в которых как частные производные искомой функции, так и сама неизвестная функция входят линейно с постоянными коэффициентами, в уравнении (9) коэффициент при частной производной по х зависит от неизвестной функции. В силу этого обстоятельства уравнение (9) называется квазилинейным. Уравнение (8) из модельной задачи 4 не относится ни к линейным, ни к квазилинейным уравнениям, а является нелинейным, так как в нем присутствует квадрат частной производной, который входит в подкоренное выражение.
1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения
Предположим, что автомобили движутся слева направо по скоростной автостраде, у которой нет боковых въездов и съездов.
Направим ось вдоль дороги. Обозначим через плотность автомобилей в точке х в момент времени - число авто, находящихся на расстоянии х от начала автострады в момент времени .
поток автомобилей в точке х - число авто, проезжающих в единицу времени через поперечное сечение дороги в точке х.
Покажем, что они удовлетворяют уравнению:
(12)
Составим УМБ, выражающий закон сохранения числа автомобилей для участка дороги .
С одной стороны, изменение числа автомобилей за единицу времени на равно
с другой стороны, применяя формулу Ньютона-Лейбница, -
Приравнивая эти два интеграла, получаем
Поскольку промежуток произволен, подынтегральные функции равны, то есть приходим к уравнению (12).
В задачах дорожного движения пользуются экспериментально найденной зависимостью потока автомобилей от плотности: В этом случае по правилу дифференцирования сложной функции
.
Значит (12) можно переписать следующим образом:
Пусть, например, зависимость потока от плотности квадратичная, то есть .
Тогда уравнение (12) принимает вид:
(13)
В динамике жидкости величина может обозначать плотность жидкости в точке, а - поток жидкости.