- •Оглавление
- •Введение
- •1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка
- •1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку
- •1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения
- •1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа
- •1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном)
- •1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок
- •1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения
- •2. Классификация учп первого порядка
- •Типология учп первого порядка
- •3. Уравнения характеристик
- •Семейство прямых
- •Физическая интерпретация этого факта
- •4. Задача Коши. Метод характеристик
- •Физическая интерпретация полученного решения
- •5. Задача Коши. Метод вариации произвольной постоянной
1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа
Рисунок 3
Пусть через трубку с постоянной площадью поперечного сечения , заполненную адсорбентом (поглощающим пористым веществом) пропускается газовоздушная смесь – ОВ (отравляющее вещество).
Тепловыделения в трубке бесконечно малы, а температуры потока и адсорбента одинаковы.
Считаем, что скорость потока велика, и процесс диффузии не играет существенной роли в переносе ОВ.
Направим ось вдоль трубки (рис. 3).
Обозначим через:
концентрацию адсорбтива, то есть ОВ, находящегося в газовой фазе, в точке х в момент времени ,
концентрацию адсорбата, то есть ОВ, в адсорбированной фазе, в точке х в момент времени .
Покажем, что концентрация ОВ удовлетворяет уравнению изотермической сорбции газа:
Рассмотрим элементарный слой адсорбента, заключенный между сечениями трубки и .
Составим уравнение материального баланса (УМБ) для этого элементарного слоя за время от до .
УМБ в текстовом виде схематично можно записать так
или в формализованном виде:
Используя равенство левую часть УМБ можно преобразовать следующим образом:
Аналогично правую часть представим так:
Итак,
Отсюда, разделив почленно обе части УМБ на , получим:
И, наконец, приходим к уравнению (3):
Если известна основная кинетическая зависимость где - гладкая функция, то уравнение (3) примет вид:
(4)
где .
Если к УМБ присоединить уравнение кинетики сорбции (изотермы сорбции)
где - кинетический коэффициент,
коэффициент Генри, - непрерывная, не обязательно гладкая функция, то уравнение (3) примет вид:
(5)
где .
1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном)
В начальный момент времени имеется некоторый профиль травимого материала. Вследствие процесса травления каждый участок профиля движется в направлении нормали с некоторой скоростью . Выведем уравнение эволюции профиля для двухмерного случая.
На рисунке 4 показаны профили для двух моментов времени: и .
Рисунок 4
Функция описывающая форму профиля, зависит от двух переменных: координаты х и времени .
За время точка А профиля смещается в направлении нормали, на расстояние , которое мало.
Смещение точки А по вертикали за время также мало:
В силу малости можно считать прямоугольным.
Из прямоугольного :
(6)
Угловой коэффициент касательной АМ к исходному профилю травимого материала, задаваемого функцией в точке А, равен:
(7)
Поскольку то учитывая (7),
Подставляя в равенство (6) выражения для и , получим
Разделив обе части последнего равенства на , приходим к искомому уравнению травления материала:
(8)
Многообразие процессов, описываемых этим уравнением, связано с различным видом функции V, которая может зависеть от и
В модельных задачах 3 и 4, используя приближенные равенства, мы позволили небезупречный с точки зрения математической строгости переход от уравнений материального баланса (УМБ) к уравнениям в частных производных. Однако при моделировании физико-химических процессов такой нестрогий подход вполне приемлем, поскольку приводит к простым практически полезным моделям.
Математическая строгость изложения приводит к более сложным выкладкам на основе использования понятия и свойств определенного интеграла. Проиллюстрируем это на следующих модельных задачах.