Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если она определена в точке а или в некоторой окрестности этой точки и =f(a).

Можно сформулировать четыре условия непрерывности:

1. f(x) должна быть определена в окрестности точки а;

2. должны существовать конечные односторонние пределы и ;

3. односторонние пределы должны быть одинаковыми;

4. пределы должны быть равны значению функции в точке а, то есть = =f(a).

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [x₁;x₂], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, а на границах выполняются условия: =f(x₁), = f(x₂).

Элементарные функции непрерывны во всех точках их области определения.

Разрывы функции

Функция f(x) имеет разрыв в точке а, если она определена слева, и справа от точки а, но в точке а не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Различают два основных вида разрыва:

1. Разрывы I рода – а) оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны между собой, то есть ≠ . Такой разрыв называется скачком; б) оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в точке а, то есть = ≠ f(x). Этот предел называется устранимым.

2. Разрыв II рода – хотя бы один из односторонних пределов равен ∞.

_______________

4.2.1. Найти пределы следующих функций: а) ; б) ; в) ; г) .

4.2.2. Раскрыть неопределенность и вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

4.2.3. Раскрыть неопределенность и найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

4.2.4. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ;

г) .

4.2.5. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) .

4.2.6. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ж) .

4.2.7. Найти точки разрыва и построить графики функции:

а) ; б) ; в) ;

г) .

4.2.8. Подобрать значения  таким образом, чтобы функции были бы непрерывными:

а) ; б) .

_________________

4.2.9. Найти пределы следующих функций:

а) ; б) .

4.2.10. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

4.2.11. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

4.2.12. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ; г) .

4.2.13. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

4.2.14. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

4.2.15. Найти точки разрыва и построить графики функций:

а) ; б) ; в) ;

г) .

4.2.16. Найти  таким образом, чтобы следующие функции были непрерывными:

а) ; б) .

§4.3. Дифференцирование функций. Основные формулы дифференцирования

1) с′=0, где с – const; 2) (хⁿ)′ = nx^n-1;

3) (a^x)′=a^xlna; 4) (e^x)′=e^x ;

5) (lg_ax)′=  ; 6) (lnx)′=  ;

7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx;

9) (tgx)′=  ; 10) (ctgx)′=  ;

11) (arcsinx)′=  ; 12) (arccosx)′=  ;

13) (arctgx)′= ; 14) (arcctgx)′= .