- •Основы Квантовой физики методические указания
- •I. Квантовая оптика
- •1.1. Тепловое излучение Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.2. Фотоэффект Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.3. Фотоны. Давление света Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.4. Эффект Комптона Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •Контрольные задания по квантовой оптике
- •2. Волновые свойства частиц
- •2.1. Волны де Бройля Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Теоретический материал
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •3. Уравнение шредингера
- •3.1. Частица в одномерной потенциальной яме Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •3.2. Прохождение частицы через потенциальный барьер о Рис.4.1 сновные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •Контрольные задания по квантовой механике
- •Библиографический список
- •III. Атомная физика
- •1. Атом водорода по квантовой теории:
- •1.1. Теоретический материал
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •2. Рентгеновские спектры
- •2.1. Теоретический материал
- •2.2. Примеры решения задач
- •2.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Основы Квантовой физики
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Уравнение шредингера
3.1. Частица в одномерной потенциальной яме Основные формулы
Одномерное временное, уравнение Шредингера
где i - мнимая единица (i = ); m -масса частицы; (x,t) - волновая функция, описывающая состояние частицы; U(x,t) – характеристика силового поля, в котором находится частица.
Стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой - функции и ее первой производной.
Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,
где А - амплитуда волны де Бройля; р - импульс частицы; Е - энергия частицы,
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
,
г
Рис.3.1
Рис.3.2
Вероятность Р обнаружить частицу в интервале от x1 до х2 находиться интегрированием dP в указанных пределах:
где | (х)|2 - плотность вероятности.
Условие нормировки волновой функции .
Собственное значение энергии Еп частицы, находящейся на
n-м энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме,
(0 = 1,2,3,..),
где d - ширина потенциальной ямы. Соответствующая энергии собственная волновая функция имеет вид
Примеры решения задач
З
Решение
Вероятность Р обнаружить частицу в интервале x1<x<x2 определяется равенством:
(1)
где (x) - нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.
Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид
Невозбуждённому состоянию (n=1) отвечает волновая функция
(2)
Подставив 1(x ) в подынтегральное выражения формулы (1) и вынося постоянные её за знак интеграла, получим
Пределы интегрирования определим из условия равноудаленности интервала d/4 от стенок ямы (рис.3.1). Тогда
Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
1. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид: .Найти решение уравнения. [ ]
2. Электрону в потенциальном ящике шириной d отвечает волновой вектор (где n = 1,2,3...). Используя связь энергии электрона Е с волновым вектором k, получить выражение для собственных значений энергии En. [ ]
3. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид . Используя условия нормировки, определить постоянную С. [ ]
4. В потенциальной яме бесконечной глубины движется электрон. Во сколько раз изменится минимальное значение кинетической энергии электрона, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое? [увеличится в 4 раза]
5. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d = 0,5 нм. Определить наименьшую разность Е энергетических уровней электрона. [4,48 эВ]
6. Вычислить энергию, которая необходима, чтобы перевести частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной d=0,l нм с первого энергетического уровня на второй. Задачу решить для электрона и для частицы с массой 10 г. [112,5эВ; 10,27 10-20 эВ].
7. Какого размера должна быть одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, чтобы локализованная в ней частица имела на самом глубоком уровне энергию Е = 1эВ. Задачу решить для электрона и протона. [ ; м; м]
8. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с n1=2 и n2 =3 составляет = 0,3 эВ. [2,5 нм]
9. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти массу частицы, если ширина ямы d и разность энергий энергетических уровней n1 и n2 равна . [ ]
10. Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно P. Найти ширину ямы и энергию частицы в данном состоянии. [ ; ]
11. Частица в потенциальном ящике шириной d находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения. [максимум при x1=d/4, x3=3d/4; минимум при x2 =d/2]
12. Электрон находится в потенциальном ящике шириной d. В каких точках интервала (0<х<d) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. [х1 = d/3; x2 = 2d/3; ]
13.Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в низшем возбужденном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы в крайней четверти ящика? [0,33]
14. В прямоугольном потенциальном ящике шириной d находится частица в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале d/4 равноудаленном от стенок ящика. [0,091]
15. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии (n=1). Какова вероятность обнаружения частицы в крайней трети ящика? [0,2]