Теория рядов. Лекция №1.

Числовой ряд, сходимость, сумма. Основные свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости числовых рядов.

Повторить: 1. понятие числовой последовательности;

2. арифметическую и геометрическую прогрессии;

3. технику вычисления пределов;

4. факториал;

5. сходимость несобственного интеграла.

§1. Основные определения

Пусть дана последовательность , где индексы 1,2,3…п показывают место членов последовательности.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности

называется рядом.

(1)

При этом числа будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Если - числа, то ряд называют числовым.

Если - функции, то ряд называют функциональным.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются

частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, … ,S_n, …

Пример 1

Записать первые три члена ряда

На практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда: Затем , тогда: Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Пример 2.

Записать первые три члена ряда

подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , .

Ответ оставим в виде

Пример 3.

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть. В данном случае:

Пример 4.

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Пример 5.

Записать первые три члена ряда

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

Определение. Ряд называется сходящимся, если

сходится последовательность его частных сумм. Сумма

сходящегося ряда – предел последовательности его частных

сумм.

(2)

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е.

не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд

называется расходящимся и ему не ставят в соответствие

никакой суммы.

• Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале лекции: .

Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.

• В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести

бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы: . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии. В данном случае: , . Таким образом: . Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.