- •Теория рядов. Лекция №1.
- •§1. Основные определения
- •§2. Свойства рядов
- •§3. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда Необходимые признаки сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости ряда
- •1. Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами
- •2. Признак Даламбера.
- •3. Признаки Коши.
- •§3. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.
- •Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов.
§2. Свойства рядов
1 свойство: Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2 свойство: Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)
3 свойство: Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
Пусть сумма сходящего числового ряда равна S.
4 свойство: Если в ряде (1) отбросить n членов, то получим ряд , который называется n-ым остатком ряда и обозначается . Разность между суммой ряда S и его частичной суммой называется остатком ряда и обозначается = S - .Если ряд сходится, то остаток равен 0.
§3. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда Необходимые признаки сходимости ряда
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда un .
Будем считать, что все слагаемые – это неотрицательные числа. То есть далее, речь пойдет о положительных числовых рядах.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
! Как правило, расходятся такие ряды, когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Очевидно, и расходимость таких рядов у которых каждый последующий член ряда постоянно возрастает, например ряды , расходятся. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.
П очему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится. Или так: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно.
Рассмотрим следующий ряд: .
– ряд называется гармоническим рядом. Запомните! В теории рядов гармонический ряд является чуть ли не «аксиомой».
Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.
Существуют также «эталонный ряд», который является обобщением гармонического ряда или общегармоническим:
. 1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды
, ,
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды
, , .
Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки.