4.2. Задачі

4.2.1. Типові задачі

Аналітичне вирівнювання статистичного ряду нормальною кривою з перевіркою гіпотези про його «нормальність» за критерієм згоди χ².

Задача №8. Початкові умови. Місячні витрати на купівлю продуктів харчування 200-т обстежених сімей N-ої обл. становили (Х, грн.):

Х, грн.	0- 500	500- 1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	2500-3000	Всього (N):
Кількість сімей (f)	10	20	60	70	30	10	200

Завдання. Здійснити аналітичне вирівнювання отриманого інтервального ряду гаусіаною з параметрами m = 1550 грн. (середньомісячні грошові витрати обстежених сімей) і σ = 578,79 грн. (СКВ цих витрат) з перевіркою гіпотези про «нормальність» розподілу місячних витрат населення N-ої обл. на купівлю продуктів харчування за одностороннім критерієм згоди χ² на рівні значущості α = 0,05.

Розв’язок.

1) Побудуємо криву f(Х), що відображає нормально розподілену ознаку Х із вказаними параметрами, для чого обчислимо значення f(х) цього розподілу на границях інтервалів х_в(н)j, а також його максимальне значення для х = (див. розрахункову таблицю).

Розрахункова таблиця

j	1	2	3	4	5	6	x	x
Х = хнj, грн.	0,00	500,00	1000,00	1500,00	2000,00	2500,00	хв6 = = 3000,00	= = 1550,00
fj	10,000	20,000	60,000	70,000	30,000	10,000	х	х
uj = (xj – m)/σ (4.10)	-2,678	-1,814	-0,950	-0,086	0,777	1,641	2,505	0,000
f(uj) ∙ 10^-1 (4.11)	0,00306	0,14846	1,61712	3,95969	2,17962	0,2697	0,0075	3,9894
[f(xj) = f(uj)/σ]∙10^-4, 1/грн. (4.9)	0,00529	0,25651	2,79395	6,84131	3,76582	0,46599	0,01296	6,89256
[φj = fj/(n∆)]∙10^-4, 1/грн.	1,00000	2,00000	6,00000	7,00000	3,00000	1,00000	x	x
F(uj) = (4.12)	0,00370	0,03483	0,17099	0,46558	0,78156	0,94964	0,99388	x
рj = F(uвj) – F(uнj) (4.13/4)	0,03113	0,13616	0,29459	0,31598	0,16808	0,04424	x	x
Npj	6,226	27,232	58,918	63,196	33,616	8,848	x	x

Для спрощення обчислення f(х) зручно перейти від значень Х до нової змінної U , нормалізація якої у значеннях функції f(и) представлена статистичними таблицями (Д.1). Усі розрахунки зведені у таблицю. Гаусіану покажемо разом з гістограмою φ(х) на малюнку.

Рис. Аналітичне вирівнювання гаусіаною інтервального розподілу чисельності

обстежених сімей N-ої обл. у залежності від їх місячних грошових витрат

(Х, грн.) на купівлю продуктів харчування у вибірці в 20-ть сімей з

характеристиками = 1550,00 грн. і σ = 578,79 грн.

2) Статистику χ² = χ²_р. обчислимо через фактичні f_j і теоретичні np_j значення інтервальної абсолютної частоти.

Імовірності р_j потрапляння нормальних значень ознаки Х в кожен j-й класовий інтервал знайдемо як різницю значень функції розподілу F(u) на верхній u_вj і нижній u_нj границях інтервалу. Значення функції розподілу на границі інтервалу визначається як сума табличного значення інтегралу ймовірностей Лапласса (Д.2) для цієї границі і 0,5 (половини загальної площини під нормальною кривою). Для від’ємних значень U зазначена сума віднімається з

одиниці (величини загальної площини під нормальною кривою). Усі розрахунки зведені в ту ж саму таблицю.

Теоретичні значення Np_j абсолютної частоти внутрішніх інтервалів вищі за 10 одиниць, а крайніх інтервалів – за 5 одиниць, тому класові інтервали можна залишити без зміни.

Отже (4.25),

χ²_р. = (10 – 6,226)²/6,226 + (20 – 27,232)²/27,232 + (60 – 58,918)²/58,918 +

+ (70 – 63,196)²/63,196 + (30 – 33,616)²/33,616 + (10 – 8,848)²/8,848 ≈

≈ 5,500.

Критичне значення цієї статистики на рівні значущості α = 0,05 одностороннього χ²-критерію з m = n – s – 1 = 6 – 2 – 1 = 3 ступенями свободи (табличне, Д.3) становить:

χ²_{3;1 – 0,05} = 7,815.

Висновок. Порівнюючи розрахункове та критичне значення статистики χ²: χ²_р. (5,500) < χ²_{3;1 – 0,05} (7,815), – можна стверджувати, що гіпотеза про «нормальність» розподілу досліджуваної ознаки є вірною.

Перевірка гіпотези про «нормальність» дискретного ряду за критерієм згоди А.М.Колмогорова.

Задача №9. Завдання. По результатах систематизації даних в п.1) задачі №3:

Х = {500; 600; 700; 800; 1000; 1000; 1200; 1400; 1500; 1500; 1500; 1700; 1800; 1800; 2000; 2000; 2300; 2400; 2700; 3000} (грн.), –

Перевірити за допомогою двостороннього критерію згоди Колмогорова на рівні значущості α = 0,05 гіпотезу про те, що місячні витрати сімей N-ої обл. на купівлю продуктів харчування мають нормальний розподіл, якщо середні витрати і СКВ витрат становлять відповідно m = 1570,00 грн. і σ = 681,98 грн.

Розв’язок.

1) По наведених даних побудуймо емпіричну F_n(X) (гр. 4 і 5) і теоретичну F(X) (гр. 6) функції розподілу витрат, для чого результати обчислень зведемо в розрахункову таблицю.

n = 20 Розрахункова таблиця

і	хі, грн.	uj = = (xj – m)/σ (4.10)	Fn(xi) = i/n (4.29)	Fn(xi-1) = = (i – 1)/n (4.29)	F(xi) = = F(ui)	Fn(xi) – – F(xi) (4.26)	F(xi) – – Fn(xi-1) (4.26)
1	2	3	4	5	6	7	8
1	500	-1,56896	0,05	0,00	0,05833	-0,00833	0,05833
2	600	-1,42232	0,10	0,05	0,07747	0,02253	0,02747
3	700	-1,27569	0,15	0,10	0,10103	0,04897	0,00103
4	800	-1,12906	0,20	0,15	0,12944	0,07056	-0,02056
5	1000	-0,83580	0,25	0,20	0,20163	0,04837	0,00163
6	1000	-0,83580	0,30	0,25	0,20163	0,09837	-0,04837
7	1200	-0,54254	0,35	0,30	0,29373	0,05628	-0,00628
8	1400	-0,24927	0,40	0,35	0,40158	-0,00158	0,05158

Продовження розрахункової таблиці

1	2	3	4	5	6	7	8
9	1500	-0,10264	0,45	0,40	0,45912	-0,00912	0,05912
10	1500	-0,10264	0,50	0,45	0,45912	0,04088	0,00912
11	1500	-0,10264	0,55	0,50	0,45912	0,09088	-0,04088
12	1700	0,19062	0,60	0,55	0,57559	0,02441	0,02559
13	1800	0,33725	0,65	0,60	0,63204	0,01796	0,03204
14	1800	0,33725	0,70	0,65	0,63204	0,06796	-0,01796
15	2000	0,63052	0,75	0,70	0,73582	0,01418	0,03582
16	2000	0,63052	0,80	0,75	0,73582	0,06418	-0,01418
17	2300	1,07041	0,85	0,80	0,85778	-0,00778	0,05778
18	2400	1,21704	0,90	0,85	0,88821	0,01179	0,03821
19	2700	1,65693	0,95	0,90	0,95123	-0,00123	0,05123
20	3000	2,09683	1,00	0,95	0,98180	0,01800	0,03180

Значення функцій відкладемо на графіку (див рис.).

F(X)

2 )

F_n(X)

d_n^-

d_n⁺

Рис. Аналітичне вирівнювання вибіркової функції розподілу F_n(X) місячних витрат 20-и

сімей N-ої обл. на купівлю продуктів харчування нормальною кривою теоретичної

функції розподілу F(X) з параметрами m = 1570,00 грн. і σ = 681,98 грн.

Пам’ятаючи, що F(X) = F(U), значення F(x_j) можна визначити, скориставшись методикою попередньої задачі, стандартизуючи змінну Х (гр. 3) і нормалізуючи її через інтеграл Лапласса Ф(U) (Д.2): F(x_j) = Ф(и_j) + 0,5.

2) Знайдемо в точках Х = х_j значення статистики D_n як максимальні значення відхилень F_n(X) вверх (гр. 7) і вниз (гр. 8) від F(X): d_n⁺ = 0,09837 і d_n^- = 0,05912 відповідно, – і виберемо з них максимальне – 0,09837.

3) Порівняймо це значення з критичним значенням двостороннього критерію Колмогорова К_{n; α} на рівні значущості α = 0,05 (табличне, Д.6): К_{20; 0,05} = 0,29408.

Висновок. Порівнюючи розрахункове значення статистики D_n та критичне значення критерію: D_n (0,0983) < К_{20; 0,05} (0,29408), – можна стверджувати, що гіпотеза про «нормальність» розподілу досліджуваної ознаки є вірною.