Пример 1. Оптимальный запас капитала и q Тобина.

Предположим, что производственная функция фирмы имеет вид . Пусть каждый инвестор имеет на своем предприятии 27 единиц основных фондов со сроком службы 10 лет и 16 рабочих. В экономике – единичная относительная цена основных фондов, реальная заработная плата равна 1,5, реальная банковская ставка составляет 10 процентов годовых, а общий уровень цен достиг 2, и его изменений в будущем не ожидается. В соответствии с (12.4), учитывая норму амортизации , имеем . Поскольку предельный продукт труда в состоянии оптимума должен равняться реальной заработной плате, имеем . Данные соотношения позволяют определить оптимальную величину капитала и занятости на каждом предприятии K^*=125, L^*=25. В силу (11), R=0,4.

Предполагая, что всю прибыль предприятие направляет на выплату дивидендов акционерам, определим объем дивидендов, который платит фирма по своим акциям при текущем запасе капитала . По формуле пожизненного аннуитета рассчитаем рыночную капитализацию фирмы . Рассчитаем восстановительную стоимость основных фондов фирмы . Следовательно, курс акций компании и коэффициент Тобина равны .

Проанализируем теперь ситуацию, когда запас капитала фирмы достигает оптимального уровня. Объем дивидендов, по предположению, совпадает с величиной прибыли . Капитализация компании на фондовом рынке теперь достигнет такой величины: , что будет равно восстановительной стоимости основных фондов, то есть в данном случае доходность активов компании совпадает с рыночной, и коэффициент Тобина q=1. По формуле (12.4) определим зависимость между оптимальным запасом капитала и реальной ставкой процента

. (7П2.10)

Отметим, что, если предприятие, использующее данный ресурс, обладает определенной свободой ценообразования, то есть способно влиять на рыночные цены на свою продукцию и на покупаемые им ресурсы, что характерно для ситуации несовершенной конкуренции на продуктовых и ресурсных рынках, то соотношение (11) преобразуется в (26.2). Предельные издержки MC_K можно представить в виде произведения удельной арендной платы R на множитель, представляющий собой величину, обратную эластичности предложения данного специализированного ресурса K, увеличенную на единицу. Поэтому равенство (26.2) можно записать так:

, (14)

или после преобразования . (15)

Далее, аналогично ситуации автономности для данного предприятия рыночных цен, ценность актива можно выразить в следующем виде:

. (16)

Перейдем к анализу накопления капитала в непрерывном времени [Ошибка! Источник ссылки не найден., с.79-81]. В условиях совершенного арбитража, аналогично рассмотренной модели в дискретном времени, внутренняя доходность инвестиционного проекта , где R – рентный доход от капитального актива, с учетом темпа роста его ценности будет равняться рыночной ставке процента ^{REF _Ref220477857 \r} i:

. (16.1)

Покажем альтернативные способы вывода формулы (16.1). Пусть в момент времени t владелец 1 рубля имеет выбор: отдать деньги взаймы на короткий промежуток времени до t+h и получить приблизительно в качестве процентов или купить единиц товарно-материальных активов, получить в виде рентных платежей, а затем – продать активы. В первом случае человек будет иметь в конце периода, а во втором – получит . В условиях равновесия эти денежные суммы должны быть равны:

. (16.2)

Отсюда . (16.3)

Устремляя h к нулю, получаем требуемое соотношение (16.1).

Соотношение (16.1) может быть получено также дифференцированием по времени ^{REF _Ref220477857 \r} выражения стоимости актива (6.13):

(16.4)

откуда следует формула (16.1).

Применяя формулу Фишера (2.1) и учитывая, что темп прироста цен – это уровень инфляции , приходим к равенству отдачи от актива в реальном выражении реальной ставке процента, что и предполагают условия совершенного арбитража

. (16.5)

В предыдущих обозначениях . (16.6)

Отсюда в непрерывном времени приходим к формуле

. (16.7)

Формула (16.1) верна и для переменной во времени ставки процента. При этом (16.1) получается дифференцированием формулы стоимости актива (6.18):

(16.8)

Результат сохраняется и для актива, служащего бесконечно долго, стоимость которого определяется по формуле . Переписывая ее в виде

и дифференцируя по времени

(16.10)

приходим к соотношению ^{REF _Ref220477857 \r} (16.1).

REF _Ref220477857 \r Микроэкономика. Под общей редакцией Гальперина СПб., «Экономическая школа», 1996. Т.2 сс. 306-307 . Fisher I. The Nature of Capital and Income. New York, 1927. p.52/

REF _Ref220477857 \r Микроэкономика. Под общей редакцией Гальперина. СПб., «Экономическая школа», 1996.Т.2, С.308

REF _Ref220477857 \r Дж. М. Кейнс Общая теория занятости, процента и денег. М. «Прогресс», 1978, С. 202.

REF _Ref220477857 \r Рынок капитала состоит из кредитного рынка и рынка корпоративных ценных бумаг, причем кредитный рынок подразделяется на денежный рынок и рынок государственных облигаций.

REF _Ref220477857 \r Schultz T.W. Investment in human capital: the role of education and of research. – New York; London: The Free press; Macmillan, 1971, p.57.

REF _Ref220477857 \r Weisbrod B.A. The valuation of human capital // Journal of political economy. – Chicago (Ill.): The University of Chicago press, 1961. – Vol.69, №5, p.426-428, 430-434.

REF _Ref220477857 \r Это тождество можно рассматривать как формализацию ветхозаветной максимы, согласно которой человек “как вышел … нагим из утробы матери своей, таким и отходит, каким пришел, и ничего не возьмет от труда своего, что мог бы он понести в руке своей…” (Библия: книги священного писания Ветхого и Нового Завета. – М.: Российское библейское общество, 2002. – Ветхий Завет. Книга Екклесиаста, или Проповедника. Глава 5. – С.621).

REF _Ref220477857 \r Беккер Г.С. Экономический анализ и человеческое поведение // Теория и история экономических и социальных институтов и систем (THESIS), 1993. – Т.1, вып.1, с.28.

REF _Ref220477857 \r Еще один способ получения множителя e^rt приведен в работе [Ошибка! Источник ссылки не найден., с.8-11].

REF _Ref220477857 \r Эта формула задает так называемый экспоненциальный закон развития [Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. – Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, с.11].

REF _Ref220477857 \r Еще один способ получения множителя e^rt приведен в работе [Ошибка! Источник ссылки не найден., с.8-11].

REF _Ref220477857 \r Эта формула задает так называемый экспоненциальный закон развития [Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. – Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, с.11].

REF _Ref220477857 \r Если , то К будет фиксированной величиной, и чистые инвестиции будут равны нулю (разрыв между фактическим и желаемым запасом капитала не будет сокращаться).

Если _\, то этот разрыв будет преодолен в течение одного (t-ого) периода и желаемый запас капитала будет достигнут. Другими словами, будет происходить мгновенная настройка.

REF _Ref220477857 \r Если , то фактический запас капитала будет отдаляться от оптимального.

REF _Ref220477857 \r Слово «вечный\» используется , т.к. при постоянно-экспоненциальном износе, объем производимых данным оборудованием услуг стремиться к нулю, но никогда не достигает, таким образом амортизируемое оборудование навсегда остается в составе основных фондов.

REF _Ref220477857 \r Дж. М. Кейнс Общая теория занятости, процента и денег. М.: Прогресс, 1978 сс. 218, 219, 222-224.

REF _Ref220477857 \r Джон К. Богл Битва за душу капитализма. М.: Издательство Института Гайдара, 2011, с.143

REF _Ref220477857 \r Там же с.10.

REF _Ref220477857 \r Там же с. 31

REF _Ref220477857 \r Ф.Х. Найт Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Дело, 2003.

REF _Ref220477857 \r Ф. Найт проводит различие между собственно риском и неопределенностью. Он выделяет типичные ситуации исчислимого риска. Во-первых, это ситуации, в которых известна априорная вероятность, например, азартные игры. Во вторых, ситуации в которых известна статистическая вероятность например, вероятность человека дожить до определенного возраста, которая рассчитывается компаниями по страхованию жизни. Такие риски вполне можно вычислить, от них можно застраховаться и включить страховые взносы в издержки функционирования. Другое дело – подлинная неопределенность, для которой характерно отсутствие не только вероятностей, но даже полного описания возможных исходов. Эта неопределенность присуща любому капиталистическому предприятию, Она не может быть ни застрахована, ни капитализирована.

REF _Ref220477857 \r Там же. С. 30

REF _Ref220477857 \r Л.Н. Фадеева Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Эксмо, 2006. – с.124

REF _Ref220477857 \r Р. Скидельски. Кейнс. Возвращение Мастера. М.: Альпина Бизнес Букс, 2011. с, 122.

REF _Ref220477857 \r Мицек Е.Б. Кейнсианские и неокейнсианские теории инвестиций в основной капитал. Екатеринбург. Препринт. 2011. сс.3-4

REF _Ref220477857 \r Fisher I. The rate of interest. N.Y. Mc.Millan, 1907. Ch. 8-9. The Theory of interest: as determined by impatience to spend income and opportunity to invest it. 1-st. 1930. Ch. 10-13.

REF _Ref220477857 \r Здесь мы просуммировали t членов геометрической прогрессии по формуле (27.1).

REF _Ref220477857 \r Рассмотрим решение неоднородного линейного уравнения первого порядка в конечных разностях

(1)

методом вариации постоянной. Соответствующее однородное уравнение выглядит так:

,

то есть . (2)

Распишем соотношение (2) для всех периодов, начиная с нулевого и кончая моментом x–1: , , , …, .

Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение получим искомое решение для любого целого положительного x в виде [Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 3-е изд. – М.: Наука, 1967. – С.292-294]

. (4)

Будем теперь считать величину f₀ зависящей от времени: . Уравнение (4) приобретает вид

, (10)

где – пока произвольная величина. Подставляем (10) в исходное неоднородное уравнение (1):

или . (12)

Суммируя в пределах от до , получаем , где – некоторая постоянная.

Подставляя полученную таким образом неизвестную величину в общее решение (10) однородного уравнения (2), получаем общее решение неоднородного уравнения (1)

, (9)

где – некоторая постоянная.

Таким образом, как и в теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения [Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1973. – С.18-25]. Написанное решение (9) по форме напоминает соответствующую формулу, дающую решение неоднородного линейного дифференциального уравнения. Если взять вместо единицы приращения h, то в пределе при соотношение (9) обратится в формулу решения дифференциального уравнения [Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 3-е изд. – М.: Наука, 1967. – С.292-294].

REF _Ref220477857 \r Haavelmo T. A study in the theory of investment. Chicago: University of Chicago Press, 1960.

REF _Ref220477857 \r Е.Б. Мицек Неоклассическая теория инвестиций в основной капитал. Препринт. Екатеринбург. 2011. С. 9.

REF _Ref220477857 \r сс.9-10.

REF _Ref220477857 \r Haavelmo T. A study in the theory of investment. Chicago: University of Chicago Press, 1960. P. 216

REF _Ref220477857 \r В своей статье «Эффективность налоговой политики и инвестиционное поведение» Д.Йогерсон предполагает два альтернативных и эквивалентных способа формирования инвестиционной модели: во-первых, фирма может рассматриваться как накапливающиеся а\ктивы для предоставления капитальных услуг внутри фирмы. Цель фирмы состоит в том, чтобы максимизировать ее ценность, в соответствии с её технологиями. Альтернативно, фирму можно рассматривать, как арендуемые активы, для получения капитальных услуг. Фирма может арендовывать активы у себя или у другой фирмы. В этом случае, цель фирмы- максимизировать свою текущую прибыль, определенную как валовой доход минус стоимость текущих вложений( инвестиций) и минус арендная стоимость капитальных вложений.

REF _Ref220477857 \r Доугерти Введение в эконометрику: Пер. с англ.- М.: ИНФРА-М. 2001.

REF _Ref220477857 \r Там .же

REF _Ref220477857 \r D. Guelle\c, B. van Pottelsberghe. The impact of public R&D//OECD, 2001

REF _Ref220477857 \r Robertson D.H. Banking Policy and the Price Level, 1926.

REF _Ref220477857 \r \ Jorgenson,D.W., “Capital Theory and Investment Behavior,” American Economic Reviev, Proc., May 1963, 53,247-59

REF _Ref220477857 \r Налог на прирост капитала – нало\г на доходы физических и юридических лиц, полученные от имущественных сделок в виде продажи, дарения, обмена имущества, предоставления его в пользование другим лицам. Налоговая база — чистый доход налогоплательщика за период времени (обычно год).

REF _Ref220477857 \r Lerner A. The economics of control: principles of welfare economics. N.Y.: McMillan, 1944; On the marginal efficiency of capital and marginal efficiency of investment// Journal of Political Economy. 1953. V.61. p. 1-14.

REF _Ref220477857 \r Концепция предельных издержек настройки была введена в научный оборот Эйснером и Стротцем в 1963 году. Расширенное толкование издержек настройки, включающее также издержки связанные со спецификацией и защитой прав собственности. Открытием нового бизнеса, преодолением бюрократических барьеров предложено в работе Djankov S. e. a. The regulation of entry// Quarterly Journal of Economics. 2002. V.117(1). P.1-37.

REF _Ref220477857 \r www.cepa.newschool/edu/het

REF _Ref220477857 \r Tobin J. Money, capital and other stories of value// American Economic review Papers and Proceedings. 1961. V.5192). May. P26-37.

REF _Ref220477857 \r Е.Б. Мицек Неоклассическая теория инвестиций в основной капитал. Препринт. Екатеринбург. 2011. С. 22-23.

REF _Ref220477857 \r С.25

REF _Ref220477857 \r Для упрощения здесь мы предполагаем, что капиталист не несет эксплуатационных издержек, связанных с функционированием его капитального актива.

REF _Ref220477857 \r Для упрощения выкладок предположим их неизменными, не зависящими от времени.

REF _Ref220477857 \r Фактически в формуле (1.1) заложен принцип сопоставления внутренней нормы доходности инвестиционного проекта (IRR) и банковской ставки процента.

REF _Ref220477857 \r Фактически геометрическая прогрессия в формуле (7) является бесконечно убывающей.

REF _Ref220477857 \r При δ=0 формула (9) дает стоимость пожизненного аннуитета, или пертуитета, то есть актива, приносящего ежегодную пожизненную ренту, величина которой составляет R

. (1)

REF _Ref220477857 \r Рассмотрим вопрос об оптимальном времени начала эксплуатации некоторого актива, который не приносит доход. Ожидаемая дисконтированная стоимость потока доходов от актива будет зависеть от того, когда начнется его коммерческое применение P=P(t). Решение о старте данного проекта принимается в момент времени t=0. Дисконтированная стоимость актива на исходный момент принятия решения о его перспективах составит

. (6.19)

Будем искать такой стартовый момент t, при котором P₀ будет максимальной. Для этого рассчитаем производную P₀ по t и приравняем ее нулю

. (6.20)

Отсюда получаем условие Викселя эффективной эксплуатации актива [см. Lectures…]

. (6.21)

Эксплуатация актива становится выгодной, когда темп прироста его стоимости оказывается равным рыночной ставке процента. По-другому это условие можно сформулировать так: предельные альтернативные издержки вложения средств в проект, которые представляют собой ставку процента, должны сравняться с предельной доходностью инвестирования в виде темпа прироста стоимости актива. Возможна еще одна трактовка данной закономерности, в соответствии с которой “норма процента равна относительной предельной производительности ожиданий” [Хикс «Стоимость и капитал», с.316].

REF _Ref220477857 \r Производная собственного интеграла, зависящего от параметра t, такова: .

REF _Ref220477857 \r Если стоимость актива не меняется со временем , то из (16.10) получаем стоимость пожизненного аннуитета с доходностью R(t)=R=const, стартующего немедленно (в момент времени t=0). При непрерывном времени эту формулу можно получить и на основе (6.14), когда верхний предел интегрирования равен +∞:

. (1.01)

Отметим, что интеграл на множестве , , сходится равномерно. Действительно, если , то справедливо . Поскольку , постольку : справедливо . На всем же множестве , , интеграл сходится неравномерно. Чтобы показать это, нужно предъявить такое число : при некоторых значениях b>B и справедливо неравенство . Возьмем , и . Тогда .

Аналогично, стоимость пертуитета, приносящего пожизненную ренту R(t)=R=const и стартующего в момент времени t=T (текущий момент времени t=0), рассчитывается на основе формулы (6.13):

. (1.02)

Здесь используются следующие соотношения: ; , поскольку , то есть .

Таким образом, стоимость пертуитета не зависит от момента времени, с которого он отсчитывается. Чтобы рассчитать стоимость пертуитета, стартующего в момент времени t=T, на текущий момент, при t=0, его величину нужно продисконтировать: .

Эконометрические исследования инвестиционной функции в современной российской экономике. При моделировании инвестиций в основной капитал, рассмотрим три модели: линейную, логарифмическую и полулогарифмическую.

Линейная модель имеет вид:

Invst=175573,3 – 253,78*dem+0,077*fond+404,75mig-13817,21*y6

Все регрессоры в данной спецификации модели значимы на 1%-м уровне значимости, а регрессор у6— на 5%-м уровне значимости. Коэффициент детерминации составляет 0,89, следовательно, данная модель объясня\ет 89% дисперсии инвестиций в основной капитал, что является очень хорошим показателем. Наконец, модель значима в целом по критерию F-статистики (Fstat=469,396). Проверка модели на автокорреляцию позволяет сделать\ вывод о том, что автокорреляции в модели нет. Значение статистики Дарбина-Уотсона равна 2,14. Табличные критические значения Дарбина-Уотсона составляют: d1=1,46, du=l,63. Таким образом, фактическое значение статистики Дарбина-Уотсона попадает в интервал [1,64; 2,54], в котором принимается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции.

Наилучшая модель в классе логарифмических моделей после применения процедуры пошагового исключения переменных, имеет вид:

Ln(Invst)= 033 - 0,77*ln(deter) + 0,96* ln(fond) + 0,15* ln(mig) + 0,18* ln(unemp) - 0,24*y6

Все регрессоры данной модели значимы на 1%-м уровне значимости. Коэффициент детерминации 0,94, что означает, что модель объясняет 94% разброса дисперсии. Наконец, по критерию F-статистики модель также оказалась значимой.

По своим качественным характеристикам простейшая полулогарифмическая модель намного хуже линейной и логарифмической модели – коэффициент детерминации всего 0,54, модель в целом значима по критерию F-статистики, однако само значение критерия невелико - всего 54,7, поэтому данная модель не рассматривалась в исследовании.

В результате проведенного исследования выбрана лучшая модель среди линейных, логарифмических и полулогарифмических моделей (с учетом выбранных регрессоров).

\Авторами исследования были сделаны следующие выводы:

• При росте степени износа основных фондов на 1% инвестиции в основной капитал уменьшаются на 0,77%.

• При росте стоимости основных фондов на 1% инвестиции в основной капитал растут на 0,96%.

• При увеличении миграционного прироста на 1% инвестиции в основной капитал растут на 0,15%.

• При росте уровня безработицы на 1% инвестиции в основной капитал растут на 0,18%.

• Наконец, при прочих равных условиях инвестиции в основной капитал меньше на 0,24 % для 2008. Исходя из результатов исследования, мы видим, что высокая степень износа основных фондов является показателем неблагоприятной экономической ситуации в регионе, которая не дает возможности для привлечения инвестиций в основной капитал. Своеобразным индикатором привлекательности региона является миграционный прирост, так как больший приток населения региона говорит о наличии благоприятных экономических условий в нем и свидетельствует о поступлении инвестиций в основной капитал.

Отдельно следует обратить внимание на несколько неожиданный результат, полученный по уровню безработицы - чем он выше, тем выше приток инвестиций в основные фонды. Данный результат можно объяснить тем, что если есть достаточно средств на техническое перевооружение, на закупку более современного и производительного оборудования (т.е. на инвестиции в основной капитал), то требуется меньше рабочей силы. В результате это приводит к высокой структурной безработице, так как машины заменяют людей на производстве и часть сотрудников увольняют.

102