- •Новокузнецк
- •Сибирский государственный индустриальный университет
- •Алгоритмы и примеры решения задач одномерной оптимизации
- •Общие положения
- •Теоретические аспекты методов одномерной оптимизации. Алгоритмы и примеры решения.
- •2.1 Поисковые методы
- •2.1.1 Метод сканирования
- •Метод локализации оптимума.
- •Метод половинного деления.
- •2.1.4. Метод золотого сечения.
- •2.1.5. Метод Фибоначчи.
- •2.2. Методы точечного оценивания.
- •2.2.1. Метод обратного переменного шага.
- •2.2.2. Метод квадратичной аппроксимации.
- •2.2.3. Метод Пауэлла.
- •1 Методы с использованием производных
- •2.3.2 Метод средней точки.
- •Варианты заданий для выполнения практических занятий.
- •Сергей Павлович Мочалов Инна Анатольевна Рыбенко алгоритмы и примеры решения задач одномерной оптимизации
- •654007, Г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42. Издательский центр СибГиу
2.2. Методы точечного оценивания.
2.2.1. Метод обратного переменного шага.
Предполагает задание начальной координаты x1 и приращения x. Сущность метода заключается в следующем. Рассчитывается координата xk+1 = xk + x Если f(xk+1) < f(xk), то шаг считается “удачным” и его значение увеличивается x = x, > 1. Если f(xk+1) f(xk), то шаг считается “неудачным”. Поэтому направление изменяется на противоположное, а значение шага уменьшается на величину < 1 и будет равно x =-x. Затем проверяется условие окончания |xk+1 - xk| и поиск продолжается.
Алгоритм метода обратного переменного шага.
Начальный этап. Выбрать начальную точку x1 и приращение x. Задать коэффициенты деформации шага > 1, 0< < 1 и точность поиска >0. Положить k = 1 и перейти к основному этапу.
Основной этап. Шаг 1. Если x < то остановиться; точкой минимума является точка xk, иначе вычислить xk+1 = xk+x и перейти к шагу 2.
Шаг 2. Если f(xk) > f(хk+1), то х= x. В противном случае положить x =-x. Заменить k = k + 1 и перейти к шагу 1.
Пример расчета экстремума функции методом обратного переменного шага.
Постановка задачи. Рассчитать минимум функции f(x) = x2 – 10х+3 с точностью =0,1. Начальную точку принять равной x1=-1.
Выбираем следующие параметры метода: начальный шаг - х=1, коэффициенты растяжения и сжатия шага - =1,5; =0,4. Результаты расчета представлены в таблице 2.6.
Таблица 2.6
Расчет минимума функции f(x) = x2 – 10х+3 методом обратного переменного шага.
№ |
xk |
Δx |
f(xk) |
Критерий |
1 |
-1.000 |
1.000 |
14.000 |
не достигнут |
2 |
0.000 |
1.500 |
3.000 |
не достигнут |
3 |
1.500 |
2.250 |
-9.750 |
не достигнут |
4 |
3.750 |
3.375 |
-20.438 |
не достигнут |
5 |
7.125 |
-1.350 |
-17.484 |
не достигнут |
6 |
5.775 |
-2.025 |
-21.399 |
не достигнут |
7 |
3.750 |
0.810 |
-20.438 |
не достигнут |
8 |
4.560 |
1.215 |
-21.806 |
не достигнут |
9 |
5.775 |
-0.486 |
-21.399 |
не достигнут |
10 |
5.289 |
-0.729 |
-21.916 |
не достигнут |
11 |
4.560 |
0.292 |
-21.806 |
не достигнут |
12 |
4.852 |
0.437 |
-21.978 |
не достигнут |
13 |
5.289 |
-0.175 |
-21.916 |
не достигнут |
14 |
5.114 |
-0.262 |
-21.987 |
не достигнут |
15 |
4.852 |
0.105 |
-21.978 |
не достигнут |
16 |
4.957 |
0.157 |
-21.998 |
не достигнут |
17 |
5.114 |
-0.063 |
-21.987 |
достигнут |
Таким образом, в результате реализации метода обратного переменного шага за шестнадцать итераций определена минимальная точка х*=5,114 с точностью 0,063.