- •Введение
- •Раздел первый теплопроводность
- •Тема 1 Основные положения учения о теплопроводности
- •1.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •1.2 Условия однозначности для процессов теплопроводности
- •Тема 2 Теплопроводность при стационарном режиме
- •2.1 Передача теплоты через плоскую стенку
- •2.2 Передача теплоты через цилиндрическую стенку
- •2.3 Критический диаметр цилиндрической стенки
- •2.4 Передача теплоты через шаровую стенку
- •2.5 Пути интенсификации теплопередачи
- •2.6 Теплообмен тел в условиях электрического нагрева
- •Тема 3 Нестационарные процессы теплопроводности
- •3.1 Основные положения
- •3.2 Аналитическое описание процесса
- •3.3 Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины
- •3.4 Зависимость процесса охлаждения (нагревания) от формы и размеров тела
- •3.5 Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел
- •3.6 Приближенные методы решения задач теплопроводности Приближенные методы решения задач чаще всего применяются, когда точные аналитические методы расчета затруднительны.
1.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности
Д ля изучения закономерностей распространения теплоты в однородном и изотропном теле используют метод математической физики. Этот метод исходит из того, что ограничивается бесконечно малый промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет пренебречь изменением теплофизических величин, характеризующих процесс.
Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dτ с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было рассматривать среду как сплошную.
При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. В основу вывода уравнения положен закон сохранения энергии: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии
, (1.1)
где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время dτ;
dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии, Дж.
Для нахождения составляющих уравнения выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz.
По закону Фурье количество теплоты, проходящее за время d через грань dy-dz, вдоль оси x будет равно
.
Тепловой поток, проходящий через противоположную грань dy-dz, будет соответственно
.
Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты, отведенного от него за время dτ
.
Функция qx+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора
.
Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то
.
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях других координат у и z.
Тогда общее количество теплоты, подведенное к объему
.
Определим вторую составляющую уравнения dQ2. Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через qv, Вт/м3
.
Третья составляющая в уравнении для изохорного процесса, когда вся теплота уйдет на изменение внутренней энергии вещества dQ=dU, определится
.
Подставляя полученные выражения в уравнение (1.1) получаем
.
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси x,y,z
, , .
Дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде
+ .
Обозначим: ,
.
С учетом введенных обозначений дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного процесса с учетом внутренних источников теплоты
.
Коэффициент пропорциональности а, м2/с, называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Выравнивание температуры тела будет проходить быстрее в том теле, где больше коэффициент а.
Если система не содержит внутренних источников теплоты (qv=0), то дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
.
Для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты выражение принимает вид
.