Teorija_Polja

Оглавление

Тема 1. Специальная теория относительности

6

1.1Основные положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2Основы математического аппарата . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4Векторы, тензоры и законы преобразования. . . . . . . . . 26

1.54-векторы, 4-тензоры и преобразования Лоренца . . . . . . 31

1.6Интегральные и дифференциальные операции с тензорны-

ми полями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.1.4-градиент скалярного поля . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.2.Интегралы от тензорных полей в трехмерном про-

		странстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
	1.6.3.	Интегралы от 4-тензорных полей . . . . . . . . . . .	40
	1.6.4.	Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса . . . . . .	43
1.7	Четырехмерная скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		45
Тема 2. Релятивистское описание свободной частицы			47
2.1	Принцип наименьшего действия . . . . . . . . . . . . . . .		47

2.2Вывод уравнений релятивистской механики . . . . . . . . . 54

2.3Момент импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Тема 3. Релятивистское описание заряда в электромаг-
нитном поле	61

3.1Основные положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2Движение заряда в заданном поле . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Калибровочная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . 67

1

Оглавление

2

3.4 Тензор электромагнитного поля	. . . . . . . . . . . . . . . 70
Тема 4. Уравнения Максвелла	73

4.1Первое и второе уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . 74

4.2Третье и четвертое уравнения Максвелла . . . . . . . . . . 76

4.3	Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	78
4.4	Тензор энергии-импульса и законы сохранения для элек-
	тромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	82
Тема 5. Постоянное электрическое поле		85
5.1	Электростатическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	85
5.2	Мультипольные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
Тема 6. Постоянное магнитное поле		91

Тема 7. Волновые решения. Поле движущихся зарядов 95

7.1Электромагнитные волны в свободном пространстве . . . . 95

7.2Поле движущегося заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3Поле точечного заряда, движущегося по заданной траек-

тории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4Связь между спектральными компонентами потенциалов и плотностей зарядов (токов) . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Что будет изложено в лекционном курсе ?

Основная задача нашего курса изучение фундаментальных законов движения электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. Этот раздел физики часто называют микроскопической электродинамикой; этим подчеркивается то, что вещество представлено на уровне элементарных частиц. Знание физических законов и представляющих их математических уравнений на этом уровне дает возможность правильно объяснить макроскопические эффекты и вывести уравнения макроскопической электродинамики . При этом крайне важно то, что сама макроскопическая материя существует только благодаря тому, что заряженные микрочастицы взаимодействуют друг с другом через электромагнитное поле. Таким образом:

•знание законов микроскопической электродинамики позволяет объяснить строение вещества;

•основываясь на знаниях о строении вещества, можно обяснить (вы-

вести) законы макроскопической электродтнамики (здесь имеется в виду множество частных разделов физики оптика, включая волновую; радиоэлектроника и радиофизика; теория ускорителей, теория плазмы, и т.д.)

Теория поля и квантовая механика

Здесь мы будем изучать законы классической (в смысленеквантовой) теории поля. Такая теория является приближенной и не может описать многие физические явления в частности, строение атома и строение твердого

3

Методология

теоретической

физики

Теория поля и теория относительности

Оглавление

4

тела. Однако, тем не менее, область применимости такой теории очень велика. Она хорошо описывает ситуации, когда с полем взаимодействуют отдельные изолированные заряженные частицы (например, в ускорителях); когда феноменологически как элементарные заряды мы рассматриваем макроскопически малые, но многоатомные объекты, и др.

Существует обобщение классической теории поля квантовая электродинамика; там правильно описываются квантовые особенности движения как поля, так и вещества. Однако для объяснения огромного множества реально наблюдаемых физических явлений эта более сложная теория обычно не нужна достаточно использовать либо последовательно классическую (неквантовую) теорию, либо полукласси- ческую теорию, в которой поле считается классическим, а вещество квантовым. Здесь мы изучаем классическую теорию; далее, объединяя классические уравнения движения поля с квантовыми материальными уравнениями (последние получаются в курсе квантовой механики), мы придем к полуклассическому описанию.

Связь теории поля и специальной теории относительности (СТО) можно охарактеризовать следующим образом: правильное понимание законов движения поля возможно только в случае принятия постулатов СТО.

Таким образом, теория поля в этом смысле существенно релятивистская и в этом смысле неклассическая теория. Исторически, это было осознано далеко не сразу. Только в начале XX в. было показано, что путем математического анализа уравнений Максвелла (полученных в 1860-х годах) можно вывести преобразования Лоренца, лежащие в основе СТО. Эти вопросы мы будем далее подробно обсуждать.

Как формируется и развивается физическая теория ? Нач- нем обсуждение этого вопроса с того, что заметим: в основе физической теории лежит математический метод. Наиболее примитивная форма его применения тако-

ва: проводятся измерения (появляются числовые величины !); затем на-

Оглавление

5

ходятся эмпирические законы. Следующий этап анализ эмпирических формул и вывод фундаментальных уравнений; этим занимается теорети- ческая физика. Здесь разработаны общие подходы. Среди них отметим:

•анализ симметрий и правил преобразования;

•внедрение универсальных подходов (например, вариационных прин-

ципов, которые позволяют вывести уравнения движения путем отыскания экстремума функционала).

Âтеоретической физике преследуется цель: объединить все физиче- ские знания в единую непротиворечивую теорию; сделать ее наиболее простой путем упрощения математического аппарата. В идеале все законы природы должны быть выводимы из простых исходных постулатов (как в математике все теоремы выводятся из минимального набора аксиом).

Теория, приведенная к такому виду, кроме всего прочего, удобна для изучения.

Òåìà 1

Специальная теория относительности

1.1Основные положения

Скорость рас-	В классической физике молчаливо предполагается, что
пространения вза-	взаимодействие распространяется мгновенно. Действи-
имодействий	тельно, записывая закон Кулона как F = q1q2/r122
		, ìû

предполагаем, что смещение заряда q1 приведет к мгно- венному изменению силы, действующей на заряд q2. Íî

опыт показывает, что существует максимальная скорость распространения взаимодействия, равная скорости света:

c = 299792458 ì/ñ.

Скорость света измерена с чрезвычайно высокой точностью. Мир, в котором взаимодействия (а значит, энергия, информация) переносились бы мгновенно, очень сильно отличался бы от нашего.

Замечание. Скорость не должна быть больше c, если это скорость

движения материи (переноса энергии). Скорость, имеющая чисто математический смысл, может быть любой.

Принцип относительности

÷òî:

В основе физических представлений лежат общие положения (подчас принимаемые неявно), отказ от которых мог бы привести к большим затруднениям. Мы считаем,

• свойства физического мира и описывающие его законы физики

6

Тема 1. Специальная теория относительности

7

одинаковы во всех областях пространства (законы на Луне такие же, что и на Земле);

•свойства физического мира и физические законы не меняются со временем.

Если физические законы записать с помощью уравнений, эти утверждения найдут отражение в форме уравнений, а именно: форма должна быть инвариантной относительно преобразований смещения в пространстве и времени. Классическая механика утверждает, что этот принцип следует расширить:

законы физики одинаковы во всех системах отсчета, движущихся одна относительно другой с постоянной скоростью.

Такие системы называются инерциальными системами отсчета

(ИСО). Соответственно, уравнения будут инвариантны по своей форме относительно преобразований Галилея:

x = x0 + V t, y = y0, z = z0, t = t0

(1.1)

(для простоты мы выбрали одну их декартовых осей вдоль вектора скорости). Из этих соотношений следует правило сложения скоростей:

u = u0 + V.

(1.2)

Здесь u = r˙, u0 = r˙0 скорости некоторого движения, которое наблю-

дают из двух разных ИСО, а V скорость штрихованной ИСО относи-

тельно нештрихованной. Итак, мы сформулировали

Принцип относительности: все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны.

Можно ли обна-

ружить эфир экспериментально ?

Òåìà 1.	Специальная теория относительности			8
Постоянство		ñêî-	Гипотеза о том, что распространение света это	âîë-
рости	света	+	новой процесс, существовала в науке с давних вре-
принцип	относи-
тельности = ïðî-			мен. Но, казалось бы, если есть волна значит, долж-
тиворечие ?			на существовать некоторая среда, в которой распро-
			страняются колебания. По научным представлениям
			прошлых столетий, роль переносчика света и вообще

электромагнитных взаимодействий приписывалась гипотетической всепроникающей среде, которую называли мировым эфиром. Соответственно, распространение световых волн уподоблялось распространению звука в упругой среде.

Но если такая среда действительно существует, то с ней связана вполне определенная инерциальная система отсчета ! При переходе наблюдателя от одной ИСО к другой должна меняться его скорость относительно эфира; соответственно, для наблюдателя должна меняться скорость света, что непосредственно следует из правила сложения скоростей (1.2). Другими словами, постулат о конечности и постоянстве скорости света сталкивается с очевидным противоречием. Его не будет

только если c = ∞.

• Опыт Майкельсона-Морли (1880 г.) В этом опы-

те сравнивалась скорость света по двум направлениямвдоль и поперек движения Земли по орбите, которое происходит со средней скоростью 30 км / с (позд-

нее опыт был повторен с большей точностью). Если бы для света было справедливо правило сложения (1.2), эти две скорости, очевидно, разли- чались бы на величину скорости Земли: вдоль направления движения Земли должен был бы наблюдаться эфирный ветер .

Измерения показали: с точностью 3% от скорости Земли, т.е.

±1 км / с, скорость света постоянна.

•В 1958 г. в Колумбийском университете (США) было ещ¼ раз

продемонстрировано отсутствие неподвижного эфира. Пучки излучения двух одинаковых квантовых генераторов микроволн (мазеров) направ-

Тема 1. Специальная теория относительности

9

лялись в противоположные стороны по движению Земли и против движения и сравнивались их частоты. С огромной точностью (до 10−9 %)

было установлено, что частоты остаются одинаковыми, в то время какэфирный ветер прив¼л бы к появлению различия этих частот на вели- чину, почти в 500 раз превосходящую точность измерений.

• Опыт Кеннеди-Торндайка. Свет распространялся в кварцевом ин-

терферометре, температура которого с высокой точностью поддерживалась постоянной. Эталон времени зеленая линия ртути. Вывод: с точностью до 2 м / с скорость света не меняет своей величины.

	Принцип отНовый принцип относительности, сформулированный
	носительности	Эйнштейном в 1905 г., объединяет два высказанных ра-
	Эйнштейна
		нее положения:

•все ИСО физически эквивалентны;

•скорость света c постоянна.

	Как удалось	Пришлось предположить, что в каждой системе отсче-
	устранить воз-	та свое собственное время. Покажем, что этот вывод
	никающие про-
		является необходимым. Пусть ИСО S0 движется относи-
	тиворечия ?
		тельно ИСО S вправо со скоростью V k Ox. В точке
		A системы S0 находится источник света, а в точках B и

C, равноудаленных от A приемники. Рассмотрим ситуацию с точки зрения двух наблюдателей:

•наблюдатель в системе S0: B и C неподвижны и находятся на равном

расстоянии от A поэтому свет достигает точек B и C одновременно;

•наблюдатель в системе S: поскольку C движется навстречу лучу

света, испущенного их A, а B убегает от него, свет придет в C раньше, чем в B.

Тема 1. Специальная теория относительности

10

	Как следует измеЕсли в каждой ИСО не только свои координаты, но и
	нить теорию и ма-	свое время эти переменные становятся однотипны-
	тематический ап-
		ми . Мы должны по-новому определить правило заме-
	парат ?
		ны координат при переходе из одной ИСО в другую,
		отказавшись от простых правил (1.1). Для нас при-

вычна ситуация: связь между x è x0 зависит от t. Теперь будет новое дополнительное утверждение: то, как связаны t è t0, зависит от x.

1.2Основы математического аппарата

Âклассической механике мы можем говорить о точке в пространстве в данный момент времени. В каждой ИСО у этой точки будут свои пространственные координаты; время же в этом случае едино для всех систем отсчета. Следуя принципу Эйнштейна, эти представления должны быть оюобщены. При этом появляется ряд новых понятий.

Мировая точка (событие) характеризуется в каждой ИСО координатами и значением времени. При переходе к другой ИСО мировой точке соответствуют другие координаты и другое время. Таким образом,

мировая точка описывается четверкой координат (r, t) тремя простран-

ственными и одной временной. Имеется правило их преобразования при переходе от одной ИСО к другой (преобразования Лоренца).

Мировая линия. Факт существования и движения некоторой частицы описывается мировой линией. В фиксированной ИСО мировой линии

соответствует траектория r(t). Но при переходе к другой ИСО будет не только другой закон изменения координат, но и другое время.

Переход S S0. Теперь нам предстоит вывести (или угадать ) закон

преобразования 4-координат мировой точки при переходе от одной ИСО

êдругой. Круг поисков сужается следующими общими требованиями:

•Преобразования должны быть линейными. Заметим, что частным случаем искомых преобразований будет обычное преобразо-