Тема: Классическая логика высказываний.
Высказывание – декларативное предложение, которое можно однозначно оценить как истинное или ложное.
Классическая теория истины – истина есть соответствие мысли действительности.
Высказывание «Идет дождь» истинно, если и только если идет дождь.
Классическая логика высказываний – логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов (пропозициональные переменные) и один тип логических символов (пропозициональные связки).
Алфавит КЛВ
(Алфавит – множество исходных символов языка):
Логические символы p, q, r, s, p1, q1, r1, s1,… - пропозициональные переменные (знаки простых высказываний).
&, V, V, ¬ – пропозициональные связки.
(,) – технические символы.
Пропозициональные связки.
¬ - отрицание (не верно, что…)
& - конъюнкция (и, а, но)
V – дизъюнкция (или, либо)
V – строгая дизъюнкция (или…, или…)
>(закругленное) – импликация («если…,то…», «значит», «следовательно»)
= (три черты) - эквиваленция (если и только если, тогда и только тогда)
Формулы
Выражение – любая последовательность символов алфавита.
Формула – правильно построенное выражение.
Подформула – формула, входящая в состав некоторой формулы.
Формулы КЛВ:
Любая пропозициональная переменная является формулой КЛВ.
Если А – формула КЛВ, то ¬А – также формула КЛВ.
Если А и В – формулы КЛВ, то (А&В), (A V В), (А>В) – формулы КЛВ.
Ничто иное не является формулой КЛВ.
Семантика КЛВ
Семантика – связь между знаком и значением.
Принцип композициональности: Истинность сложного высказывания зависит только от истинности простых высказываний, входящих в его состав.
p = {u, л}
Если p = и, то ¬p = л
Если p = л, то ¬p = и
Если р = и и q = и, то (p&q) = и…
Табличное определение связок.
-
p
q
p&q
pVq
pVq
p>q
p=q
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Алгоритм построения таблицы истинности
Выписать в строчку все подформулы от простых к сложным;
Записать все возможные сочетания значений для переменных (2 в степени n, где n – количество переменных);
Последовательно применить связки к подформулам;
Последний столбик (результат последнего действия) - результирующий столбец.
Таблица истинности.
(p>q) > (¬pVq)
-
p
q
¬p
p>q
¬pVq
(p>q)>(¬pVq)
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Виды формул КЛВ (логические законы).
Формула КЛВ является тождественно истинной, если и только если она принимает значение «истина» в каждой строке результирующего столбца.
Формула является выполнимой, если и только если она принимает значение «истина» хотя бы в одной строке результирующего столбца.
Формула является тождественно ложной, если и только если она принимает значение «ложь» в каждой строке результирующего столбца.
Формула КЛВ является опровержимой, если и только если она принимает значение «ложь» хотя бы в одной строке результирующего столбца
Выражение, соответствующее тождественно истинной формуле, иначе называется логически истинным. Высказывание, соответствующее тождественно ложной формуле, иначе называется логически ложным. Высказывания, соответствующие выполнимым или опровержимым формулам, называются логически недетерминированными.
Правильные рассуждения
Рассуждение правильно, если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинных посылках заключение обязательно истинно. Иными словами, не существует рассуждения данной формы с истинными посылками и ложным заключением.
Проверка правильности рассуждений:
А1: Если человек не сумасшедший, то он узнает своих родных.
А2: Этот человек сумасшедший.
В: Следовательно, он не узнает своих родных.
p – Человек сумасшедший
q – Человек узнает своих родных
¬p>q, p
¬q
-
p
q
¬p
¬q
¬p>q
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
А2 В А1
В совместной таблице есть строка, в которой А1 истинно, А2 истинно, а В ложно. Рассуждение не является правильным!
Основные законы КЛВ
Тождества: р>р
Исключенного третьего: p V ¬p
Противоречия: ¬(p&¬p)
Снятия двойного отрицания: p = ¬¬p
Контрапозиции: (p>q)=(¬q>¬p)
Дунса Скотта: (p&¬p)>q
Де Моргана: 1)¬(p&q)=(¬pV¬q)
2)¬(pVq)=(¬p&¬q)
Основные способы правильных рассуждений КЛВ.
Чисто условные умозаключения
A>B, B>C
A>C
Условно-категорические умозаключения.
Modus ponets
A>B, A
B
Modus tollens
A>B, ¬B
¬A
Разделительно-категорические умозаключения
Modus tollendo ponens
AVB, ¬A
B
Modus ponendo tollens
A V(подч)B, A
¬B
Условно-разделительные умозаключения (дилеммы)
Простая конструктивная дилемма
A>C, B>C, AVB
C
Простая деструктивная дилемма
A>B, A>C, ¬BV¬C
¬A
Сложная конструктивная дилемма
A>C, B>D, AVB
CVD
Сложная деструктивная дилемма
A>C, B>D, ¬CV¬D
¬AV¬B