2. Способы доказательства тождеств.
Способ 1. Преобразование одной из частей тождества.
Пример 1. (а – b)3 = а3 –3а2 b + 3а b2 – b3 (куб разности)
(
По опр. степени с
нат. показ.
По формуле
По правилу раскрыт.
скобок
приведение подобных
= а3 –3а2 b + 3а b2 – b3.
Задание.
Запишите тождество квадрата разности: _____________________________
Расскажите его доказательство.
Негласный прием доказательств в математике: сведение к известному!
Пример 2. – = = (правило замены знака в алгебраической дроби)
П
По основному
свойству дроби
По правилу умножения
на -1
По правилу умножения
дробей
По правилу умножения
на -1
Пример 3. = , где а > 0(произведение степеней с одинаковым основанием и дробным показателем).
По опр. степени с
дроб. показ.
По правилу умножения
степеней с целым. показ.
По правилу сложения
алгебраических дробей.
По правилу умножения
корней с один. показ.
По опр. степени с
дроб. показ.
Задание.
Запишите тождество возведения степени с дробным показателем в натуральную степень: ________________________________________________
Расскажите его доказательство.
Способ 2. Оценка частей тождества с позиций определения.
Пример. = , где а > 0 (возведение арифметического корня в степень).
В правой части равенства стоит арифметический корень п-ой степени. По определению, арифметический корень п-ой степени – это такое неотрицательное число, п-ая степень которого равна подкоренному выражению, т.е. = х, где 1) х 0, 2) .
Докажем, что левая часть равенства равна х.
1) > 0, т.к. арифметический корень есть число неотрицательное по определению, а > 0 (по условию); возведение положительного числа в степень дает положительное число;
2
По правилу
возведения степень в степень и
коммутативному закону умножения
По тождеству
Задание.
Запишите тождество извлечения корня из корня: ___________________________________
( = )
Расскажите его доказательство.
Способ 3. Введение новых переменных.
№ |
Пример 1. , где с 0 (сложение алгебраических дробей с одинаковым знаменателем) |
Пример 2. logabc = logab + logac, где b >0, c > 0 (логарифм произведения) |
|
Введем новые переменные: |
|
= т, = п |
_______ = т; ______= п |
|
|
Составим новые равенства, заменив операции на сопряженные: |
|
а = тс, ___ = ____. |
____= ___, ___=____ |
|
|
Выполним операцию с равенствами |
|
а __ b = тс ___ пс |
ат ___ ап = b ___ с |
|
|
Преобразуем равенство: |
|
_______ = _____________ |
_________ = ______________ |
|
|
Выразим введенные переменные и вернемся к старым: |
|
т + п =_________; ___+____ = . |
т + п = __________; logabc = _____ + ______ |