1.2 Математические модели
Понятие математической модели
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений - уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п., определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения параметров реакции, в зависимости от значений параметров объекта-
оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени. Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.
Математическая модель — это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и правил оперирования ими в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами. Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и правил оперирования ими («грамматика» и «синтаксис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных объектов.
Такая интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью. Интерпретация (от лат. Interpretation - разъяснение, толкование, истолкование) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо образом элементам некоторой системы (теории), например формулам и отдельным символам. Таким образом, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия между формальной и содержательной системами. Наши знания об объектах реальной действительности всегда относительны, так как они являются отражением тех или иных черт реальной действительности с определенной потешностью, поэтому возникает необходимость заменить сам исследуемый объект-оригинал его изображением, называемым моделью. Это понятие связано с такими терминами, как копия, подобие, имитатор, тождество, аналог Создание аналогов, выполняющих роль заместителей, в той или иной степени копирующих или воспроизводящих оригинал, необходимо для исследования оригинала, поскольку проведение непосредственного эксперимента часто очень дорого или просто невозможно. Создание модели позволяет удешевить проведение исследования, а затем по полученным результатам уже судить об оригинале. Таким образом, моделью называется материальный или идеальный объект, который создается для изучения исходного объекта (оригинала) и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала. Модели
в нашей жизни имеют огромное значение, оказывая сильное познавательное действие, и являются средством отражения свойств окружающего мира. Так, например, образец какого-либо изделия для серийного производства или макет будущего здания, садового участка, скульптурные изображения (модель бюста, статуи) ускоряют и помогают выбрать лучшие решения по их физическому воплощению в жизнь.
К идеальным (абстрактным) моделям относятся графики (рисунок, гравюра, плакат, карикатура, литофания), фотография, схема, карта, план дома, математические модели, построенные с помощью чисел, функций, уравнений, графиков и т.д.
Модели широко применялись и применяются в различных сферах деятельности человека: в науке, технике, искусстве, экономике и т.д.
Экономико-математическое моделирование
Можно выделить несколько основных этапов алгоритма экономико-математического моделирования:
на первом этапе выявляется проблема, формулируются цели и задачи исследования, проводится качественное описание экономического процесса или объекта;
на втором этапе определяются методы решения, строится математическая модель изучаемого объекта, выбираются или разрабатываются методы исследования, программируются модели на компьютере, подготавливается исходная информация.
Рисунок 1 – Алгоритм моделирования задач коммерческой деятельности
Далее проверяется пригодность машинной модели на основе правильности получаемых с ее помощью результатов и оценивается их устойчивость. На третьем, основном, этапе экономико-математического моделирования проводится исследование по модели, реализованной в виде компьютерных программ, проводятся расчеты, обрабатываются и анализируются полученные результаты и, наконец, принимается оптимальное решение. Оптимальное планирование заключается в поиске наилучшего варианта плана из множества возможных. Наилучшее распределение ресурсов осуществляется при сопоставлении вариантов плана по выбранному критерию оптимальности, который определяет степень достижения поставленной цели.
Такими критериями могут быть рентабельность, доход, издержки обращения, товарооборот и др. В связи с этим оптимальным считается такой план, который обеспечивает, например, максимальный доход (решение задачи на максимум) или минимум издержек обращения (решение задачи на минимум).
В известном произведении Ли Якокка «Карьера менеджера»автор предлагает следующую основополагающую модель бизнеса:
Люди => Продукт => Прибыль.
Для многих сфер деятельности, в том числе и коммерческой, может быть использована другая модель:
Информация => Деньги =» Товар =» Деньги.
Коммерческая деятельность предприятия
Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов краски для внутренних (В) и наружных (Н) работ, которая поступает в продажу по цене 3 тыс. руб. и 2 тыс. руб. за 1 т. Для производства красок используют два вида сырья А и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 3 т и 4 т. Расходы сырья на производство 1 т красок приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1- Расход сырья на производства красок.
Сырьё |
Расход сырья 1т краски, т |
Запасы сырья, т |
||||
Наружных работ, Н |
Внутренних работ, В |
|||||
А |
0,5 |
1,0 |
3 |
|||
В |
1,0 |
0,5 |
4 |
|||
Цена 1 т, тыс. руб. |
2 |
3 |
|
|||
Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал спроса на краску для наружных работ более чем на 1,5 т, а спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал 2 т в сутки. Какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от ее реализации был максимальным? Кроме того, известно, что план фабрики должен предусмотреть обязательный выпуск красок, производство которых не опускалось ниже 0,25 т, для красок для наружных работ и ниже 0,5 т — для красок для внутренних работ.
Построение экономико-математической модели задачи
Поскольку
в задаче необходимо определить объемы
производства для продажи краски, то
суточные объемы производства красок
для наружных и внутре1нних работ обозначим
и
тонн
соответственно.
Критерием, по которому определяется степень достижения поставленной цели, является доход от продажи краски, который должен быть максимально возможным. На этом основании целевую функцию можно записать таким образом:
Решение любой задачи осуществляется в рамках ограниченных ресурсов. В данном случае необходимо учесть ограничения на расход сырья, запасы которого на фабрике не бесконечны, а также ограничения на спрос краски. Математически эти ограничения можно записать следующим образом:
Объемы производства и соответственно продажи краски не могут принимать отрицательных значений. В связи с этим необходимо записать тривиальное условие не отрицательности переменных:
0;
0.
Таким образом, в целом экономико-математическую модель задачи можно представить в таком виде.
Определить суточные объемы производства красок — вектор
который при заданных условиях-ограничениях.
обеспечивает максимальный доход от продажи краски в соответствии с целевой функцией
Полученная модель является задачей линейного программирования, так как все входящие в нее функции линейны.
Планирование товарооборота
Коммерческое
предприятие реализует товары нескольких
групп:
Для реализации
этих товаров используются ресурсы с
ограниченным объемом:
— рабочее
время (чел.-ч);
>2
-площадь залов (
);
- издержки
обращения (руб.). Известны нормы расхода
каждого вида ресурса на реализацию
единицы j-й группы товара —
Доход от продажи в расчете на единицу
товара составляет
.
Необходимо составить оптимальный план товарооборота по критерию максимума дохода (или по другому критерию — минимум издержек обращения).
Построение экономико-математической модели задачи
Известно,
что величина дохода линейно связана с
объемом продажи товаров
В связи с
этим целевую функцию можно записать в
виде
Очевидно,
что объем продажи товаров не может быть
отрицательной величиной. Поэтому
Учитывая нормы затрат ресурсов и их объемы, запишем ограничения в виде системы:
Производственная задача
Предприятие изготавливает несколько видов продукции, расходуя на это изготовление различные виды сырья. Запасы сырья ограничены. Доход, получаемый от реализации каждого вида продукции, различен. Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия был бы максимальным.
Для
изготовления п
видов
продукции
используется
т видов
сырья
.
Запасы
сырья составляют
.
Нормативы затрат сырья на изготовление
единицы продукции составляют
.
Доход,
получаемый от реализации единицы
продукции j-го
вида, составляет
.
Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход от ее реализации будет максимальным.
Построение экономико-математической модели задачи
Обозначим
Xj количество
единиц продукции j-го
вида (j=
),
запланированных
к производству. Тогда целевая функция
будет иметь вид:
F(
)=
→max.
Для
изготовления всей продукции потребуется
единиц сырья
i-Г0
вида. Поскольку его количество ограниченно
величиной
,
получаем
неравенство
i=
Учитывая нормативы затрат и ограничения на ресурсы, запишем систему неравенств:
Рассмотрим примеры построения экономико-математических моделей.
Пример 1. Построить экономико-математическую модель определения структуры выпуска первых и вторых блюд предприятия общественного питания при заданном квартальном плане товарооборота 270 тыс. руб. и получении максимального дохода на основе данных, приведенных в таблице 1.1.
Таблица 1.2 – нормативные затраты и плановые фонды ресурсов и получение максимального дохода с них.
Ресурсы |
Плановый фонд ресурсов |
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд |
||||
1-е блюда |
2-е мясные |
2-е рыбные |
2-е молочные |
2-е прочие |
||
Затраты труда на производство чел.-ч |
78 000 |
3,4 |
5,0 |
38,0 |
2,6 |
23 |
Затраты труда на обслуживание чел.-ч |
130 000 |
2,1 |
5,2 |
5,1 |
2,8 |
3
|
Издержки производства и обращения, руб. |
16 300 |
4,3 |
6,9 |
6,7 |
26 |
4,1 |
Доход, руб. |
|
1,3 |
2,0 |
1,5 |
0,3 |
1,7 |
Товарооборот, руб. |
270 000 |
25 |
37 |
23 |
22 |
20 |
Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид. Найти такое количество выпускаемых блюд — вектор
=(
),
которое при заданных ограничениях по использованию ресурсов, представленных в виде системы линейных неравенств
обеспечивает максимум дохода в соответствии с целевой функцией вида
F(
)=(1,3
+2
+1,5
+0,3
+1,7
)→max.
Формирование рациональных смесей
В коммерческой деятельности возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных закупок продуктов, обеспечивающих необходимый рацион питания для поддержания нормальной жизнедеятельности человека, или формирование диетического питания в больницах, или задачи составления кормовых
смесей на животноводческих фермах. Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. Причем из всех возможных вариантов необходимо выбрать самый дешевый.
Построение экономико-математической модели задачи
Допустим,
имеется набор продуктов: мясо, рыба,
молоко, сахар, яйца, картофель, овощи,
фрукты, хлеб, мука по ценам соответственно
,
,..,
,...,
причем запасы
этих продуктов ограничены величинами:
,
,..,
,...,
.
Содержание
питательных веществ — белков, жиров,
углеводов, витаминов и минеральных
солей — в 1 кг каждого продукта известны
и составляют соответственно
.
Кроме
того, известны нормы суточной потребности
человека в каждом питательном веществе:
,
,..,
,...,
Необходимо
определить количество закупаемых
продуктов
,
,..,
,...,
,
которое обеспечит потребность в
питательных веществах каждого вида и
будет иметь минимальную стоимость. Так
как содержание питательных веществ в
рационе должно быть не менее
,
,..,
,...,
то получим
систему линейных ограничений:
Кроме того, количество каждого продукта в рационе не может быть величиной отрицательной, а размер закупок ограничен запасами.
Общая стоимость рациона запишется в виде линейной целевой функции:
Пример 1. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице 1.3.
Питательные вещества |
Содержащие
питательных веществ в 1кг продуктов,
|
Нормы суточные потреб-ности |
|||||||
Мясо |
Рыба |
Молоко |
Масло |
Сыр |
Крупа |
картофель |
|||
Белки, г |
180 |
190 |
30 |
70 |
260 |
130 |
21 |
|
|
Жиры, г |
20 |
3 |
40 |
865 |
310 |
30 |
2 |
|
|
Углеводы, г |
0 |
0 |
50 |
6 |
20 |
650 |
200 |
|
|
Минеральные соли, г |
9 |
10 |
7 |
12 |
60 |
20 |
70 |
|
|
Стоимость 1кг продукта, руб. |
1,9 |
1,0 |
0,28 |
3,4 |
2,9 |
0,56 |
0,1 |
|
|
Количество продукта в рационе, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 - Питательные вещёства имеющиеся в магазине продуктов питания.
Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.
Экономико-математическую
модель задачи можно сформировать так.
Найти оптимальное количество закупаемых
продуктов питания — вектор
,
связанных
с суточной нормой потребления системой
линейных неравенств:
обеспечивающих минимум затрат на покупку продуктов питания:
F{X) = l,9xi + Х2 + 0,28хз + 3,4^4 + 2,9JC5 + 0,56хб + 0,1^7 -> min.
Решение этой задачи на компьютере состоит из ввода оператором в компьютер данных, обращения к стандартной программе, вывода на печать результатов решения задачи, однако экономическое пояснение результатов дает человек.
Перевозка грузов
в современных условиях большие транспортные расходы связаны с простоями в ожидании обслуживания на погрузочно-разгрузочных работах, порожними пробегами, встречными и нерациональными перевозками, затратами на бензин, техническое обслуживание и заработную плату водителей. В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов в коммерческой деятельности из пунктов отправления (баз, станций, фабрик, совхозов, заводов) в пункты назначения (магазины, склады) методами, позволяющими оптимизировать план по какому-либо экономическому показателю, например финансовых затрат или времени на перевозку грузов.
Для решения подобного рода задач в линейном программировании существуют специально разработанные методы, а задачи такого рода называются транспортными задачами.
Построение экономико-математической модели задачи
Имеется т пунктов отправления (поставщиков) грузов:
на которых сосредоточены запасы какого-либо однородного груза в объемах соответственно:
Величины
определяют максимально возможные
размеры вывоза фуза с пунктов отправления.
Суммарный запас груза поставщиков
составляет
Кроме того,
имеется п
пунктов
назначения:
которые подали заявки на поставку грузов в объемах соответственно:
Суммарная
величина заявок составляет
.
Стоимость
перевозки одной единицы груза от
поставщика
к потребителю
обозначим
через
(транспортный тариф), образующих матрицу
транспортных издержек С. В качестве
критерия оптимальности выбираем
суммарные издержки по перевозке грузов.
Тогда
транспортная задача формулируется
следующим образом: необходимо составить
оптимальный план, т.е. найти такие
значения объема перевозок грузов ||
||
от поставщиков
к потребителям
,
чтобы вывести
все грузы от поставщиков; удовлетворить
заявки каждого потребителя и обеспечить
минимальные транспортные расходы на
перевозку груза.
Все исходные данные транспортной задачи можно записать в виде таблице 1.4 которая называется транспортной: С и Х.
Задача
заключается в определении плана перевозок
– матрицы X(i=
),
которая
удовлетворяет следующим условиям:
Таблица 1.4 – планы перевозок.
Пункты отправления |
Пункты назначения |
Запасы
|
||||||
|
|
… |
|
… |
|
|||
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
Заявки |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
И обеспечивает минимальное значение целевой функции:
в таком виде экономико-математическая постановка транспортной задачи считается законченной.
Транспортная задача может быть решена на компьютере, поскольку математические методы, как правило, реализованы в виде специальных программ.
Задача о назначениях
В коммерческой сфере возникают задачи, связанные с необходимостью выбора такого варианта распределения ресурсов: трудовых, товарных, финансовых, энергетических, материальных, природных и других по некоторым объектам - магазинам, городам, предприятиям, цехам и т.п., который обеспечил бы минимальные затраты денег, времени или максимальные прибыль и доход и минимальные издержки.
Так, например, всегда актуальной является проблема формирования трудового коллектива.
Известно, что один и тот же работник может выполнять различные функции с разной производительностью в зависимости от опыта работы, квалификации, индивидуальных особенностей.
Поэтому возникает задача о назначениях, предполагающая такое распределение работников по должностям, при котором производительность труда в коллективе была бы максимальной.
Построение экономико-математической модели задачи
На коммерческом предприятии имеется т работников:
каждый из которых должен выполнять одну из имеющихся п видов работ:
Для каждого работника на рабочем месте рассчитывается производительность труда . Необходимо определить, кого и на какую работу следует назначить, чтобы добиться максимальной или минимальной стоимости назначения суммарной производительности при условии, что каждый работник может быть назначен только на одну работу.
Обозначим назначение i-го работника на j-ю работу. Количество работников т равно количеству работ, поэтому может принимать только два целочисленных значения: 1, если i-й работник назначен на выполнение j-й работы; О, если не назначен.
При
назначении i-го
работника на j-ю
работу производительность или стоимость
назначения равна
.
Необходимо
построить квадратную матрицу распределения
по должностям X,
которая
обеспечивает максимальное или минимальное
значение линейной функции цели:
при ограничениях:
Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, поэтому для ее решения можно воспользоваться любым алгоритмом линейного программирования, однако более эффективным является венгерский метод.
Формирование торговой сети
В регионе расположены населенные пункты, численность жителей которых, а также расстояние между ними, стоимость поездок известны. Кроме того, задано множество типовых проектов предприятий общественного питания. Необходимо найти оптимальный план размещения предприятий общественного питания в регионе, обеспечивающий минимальные приведенные затраты на их строительство, эксплуатацию и на поездки населения между населенными пунктами.
Построение экономико-математической модели задачи
Введем обозначения показателей, которые относятся к содержанию
задачи:
п - количество населенных пунктов;
j — номер населенного пункта;
-
численность
населения j-го
населенного пункта;
-
расстояние между пунктами i
и j;
i — индекс пункта размещения предприятия общественного питания (i= );
— количество
типовых вариантов предприятий для j-го
пункта;
q
— номер
типового предприятия общественного
питания q=
;
—
спрос
населения в j-м
населенном пункте на продукцию
общественного питания;
b — норма обеспеченности продукцией общественного питания одного человека;
—
максимально
допустимый радиус передвижения населения;
— численность населения i-го пункта, обслуживаемого предприятием i-го пункта;
— типовой
вариант q
предприятия
общественного питания i-го
пункта;
—
текущие
затраты для
;
—
единовременные
затраты для
;
— затраты на поездку одного жителя из пункта i в пункт j;
— нормативный
коэффициент эффективности капитальных
вложений.
В качестве критерия оптимальности принимаем приведенные затраты С на строительство, эксплуатацию и на поездки населения.
Тогда формальная запись задачи представляет такой вид: найти такие типовые варианты предприятий общественного питания для каждого i-го пункта и численности населения j-го пункта, обслуживаемого предприятиями i-го пункта, обеспечивающие минимум затрат в соответствии с целевой функцией вида:
при следующих условиях-ограничениях:
предложение продукции общественного питания, предоставляемое населению района предприятиями общественного питания j-го пункта, должно соответствовать мощности предприятия:
потребность населения j-го пункта в продукции, обеспечиваемой предприятиями района, должна быть удовлетворена:
расстояние
от j-го
пункта расселения до i-го
пункта размещения предприятия не должно
превышать допустимого радиуса обслуживания
.
Кроме того, существуют ограничения на
переменные
0.
Решение этой задачи проводят путем последовательного подбора типовых мощностей предприятий торговли или общественного питания в модели и определении величин затрат для каждого варианта.
Выбор портфеля ценных бумаг
При инвестировании денежных средств, в ценные бумаги: акции, облигации, валюты, вексели, возникают задачи оптимизации. Обычно денежные средства вкладывают в несколько видов ценных бумаг, которые образуют портфель активов.
Доходность портфеля характеризуется средневзвешенной доходностью его составляющих, которая для портфеля из двух активов рассчитывается следующим образом:
Д=
Где:
Д — общая доходность портфеля;
-
удельный вес актива А;
-
доходность актива А;
,
— удельный
вес актива В;
-
доходность
актива В.
Будущая стоимость ценных бумаг (в отличие от текущей) не определена, зависит от большого количества различных факторов. Количественная мера этой неопределенности называется риском. При этом методы линейного программирования можно использовать для контроля систематического риска при формировании портфеля активов.
Допустим,
имеется множество активов .A(i
=
),
а ожидаемые
доходы для них соответственно равны
.
Доли каждого из этих активов в портфеле
соответственно равны
и являются переменными, которые могут
корректироваться. Риск портфеля R
определяется
как средневзвешенная величина рисков
активов
.
Цель процедуры оптимизации заключается в максимизации дохода по портфелю при заданном ограничении уровня риска портфеля.
Построение экономико-математической модели задачи
Определим оптимальные пропорции (веса) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии заданного максимального уровня риска. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.
Ограничения:
1) риск R портфеля не должен превышать ;
2) в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции;
3) все средства должны быть полностью инвестированы. Таким образом, ограничения имеют следующий вид:
где
все активы могут иметь только
неотрицательные веса 0
1,
причем
поскольку средства должны быть полностью инвестированы.
Все ограничения линейны и представлены в виде равенств и неравенств. Целевая функция имеет вид:
Поскольку доход по каждому активу предопределен, то в целевой функции могут изменяться только веса.
Построение кольцевых маршрутов
Коммерческая
деятельность обычно связана с
командировками, поездками по городам
для заключения сделок. Расстояния между
любой парой множества из п
городов
известны и составляют
(i=
;j
=
),
Если прямого
маршрута между городами / и у не существует,
то допускают, что
=
.
Коммерсант, выезжая из какого-либо города, должен посетить все города, побывав в каждом из них один и только один раз, и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую последовательность объезда городов, при которой длина маршрута была бы наименьшей.
Экономико-математическая
постановка этой задачи может быть
представлена как задача целочисленного
линейного программирования. Переменные
определим следующим образом:
= 1, если
коммивояжер переезжает из города i
в город j
(i
=
);
в противном случае
=0.
Задача заключается в определении матрицы целых неотрицательных значений переменных , минимизирующих целевую функцию вида:
при ограничениях:
1) для въезда в город j только один раз:
2) для выезда из города i только один раз:
В такой постановке задача коммивояжера представляет собой задачу целочисленного линейного программирования. Действительно, условия = исключают в оптимальном решении значения = 1 как не имеющие смысла, а ограничения требуют:
1) чтобы маршрут включал только один въезд в каждый город;
2) чтобы маршрут включал лишь один выезд из каждого города, а
целевая функция включала длину маршрута коммивояжера;
3) чтобы маршрут образовывал контур, проходящий через все города.
Таким образом формируется экономный вариант маршрута
в виде кольца.