3. Понятие и оценка денежного потока

Одной из важнейших задач финансового менеджмента является оценка денежного потока С₁, С₂, …, С_n , генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования актива. Элементы потока С_i могут быть как независимыми, так и связанными между собой определенным алгоритмом. Если поступления имеют место в начале периода, то поток называют поток пренумерандо, если в конце, – поток постнумерандо. Поток постнумерандо на практике встречается чаще всего.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1) прямой задачи (схема наращения), предполагающей оценку наращенного денежного потока, т.е. в основе ее лежит будущая стоимость;

2) обратной задачи (схема дисконтирования), предполагающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока; поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные периоды времени и деньги имеют временную ценность, постольку непосредственное их суммирование невозможно и осуществляется приведение денежного потока к одному моменту времени.

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда денежные поступления по годам варьируют. Пусть С₁, С₂, …, С_n –денежный поток, r – ставка дисконтирования. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

Прямая задача. Если на первое денежное поступление С₁ начисляются сложные проценты за период (n-1), то в конце n-го периода оно станет равным C₁(1+r)^n-1. На второе денежное поступление С₂ начисляются сложные проценты за период (n-2) и оно станет равным С₂(1+r)^n-2 и т.д. Наращенный денежный поток для исходного потока имеет следующий вид: C₁(1+r)^n-1, С₂(1+r)^n-2, С_n-1(1+r), C_n. Иначе, будущую стоимость исходного денежного потока можно представить в виде

FV = . (2.13)

Обратная задача. Рассуждая по аналогии с изложенным для прямой задачи, получим приведенный денежный поток для исходного потока: С₁/(1+r), C₂/(1+r)², …, C_n/(1+r)ⁿ. Или иначе, приведенная стоимость денежного потока имеет вид

PV = . (2.14)

Чистую приведенную стоимость денежного потока при этом можно рассчитать по формуле

NPV = C₀ + . (2.15)

В общем случае процентные ставки могут быть различными для каждого из будущих периодов. Связь между процентной ставкой и временем поступления денежных средств называется временной структурой процентных ставок.

4. Оценка аннуитетов

В качестве общего случая обычно рассматривается денежный поток, не предполагающий равенства элементов, относящихся к разным периодам. Однако некоторые частные случаи денежного потока представляют особый интерес и часто используются в финансовых вычислениях. Наиболее популярными являются аннуитеты. Аннуитет, или финансовая рента, представляет собой актив, который приносит фиксированный доход ежегодно в течение определенного ряда лет. Если период, в течение которого предполагается выплата фиксированного дохода, не ограничен, то мы имеем дело с бессрочной рентой. Примером бессрочной ренты можно считать облигации британского правительства, по которым оно не берет обязательств погашения, но предлагает ежегодный фиксированный доход в течение неограниченного периода. Норма доходности таких ценных бумаг равна обещанным годовым выплатам C, деленным на их приведенную стоимость:

r = C/PV. (2.20)

Для доказательства в формулу приведенной стоимости бессрочной ренты

PV = C/(1+r) + C/(1+r)² + C/(1+r)³ + …

введем обозначения: a = C/(1+r) и x = 1/(1+r). Тогда PV = a(1 + x + x² +…). Умножаем обе части на х и получаем: PV x = a(x + x² + …). Вычитая это выражение из предыдущего, получаем PV(1-x) = a. Подставим значения а и х и умножим обе части на (1+r). Получим r = C/PV. Следовательно, приведенная стоимость бессрочной ренты равна:

PV = C/r. (2.21)

Интересным случаем бессрочной ренты является возрастающая бессрочная рента. Она имеет место, если денежный поток от периода к периоду возрастает на один и тот же процент: С₁, C₂=C₁(1+g), C₃=C₁(1+g)² и т.д. Рассуждая по аналогии со случаем обычной бессрочной ренты, можно показать, что приведенная стоимость возрастающей бессрочной ренты равна:

PV = + … = С₁/(r-g). (2.22)

Стандартный же аннуитет предполагает конечное число лет получения фиксированного дохода от актива. Несложно заметить, что аннуитет в виде регулярных платежей в период с 1-го года по n-ый год равен разнице между двумя бессрочными рентами (рис. 2.3). Приведенная стоимость бессрочной ренты, которая дает ежегодно поток денежных средств C, начиная с года (n+1), равна С/r. Следовательно, сегодня ее приведенная стоимость равна:

.

Поскольку аннуитет С за n лет представляет собой разницу между бессрочной рентой, платежи по которой начинаются в первом году, и бессрочной рентой, платежи по которой начинаются в году (n+1), то приведенная стоимость этого аннуитета равна разнице между приведенными стоимостями этих двух бессрочных рент:

= СFM4(r,n). (2.23)

Рис. 2.3. Аннуитет как разница между двумя бессрочными рентами

Дисконтирующий множитель FM4(r,n) – это коэффициент аннуитета, который представляет собой приведенную стоимость со ставкой дисконтирования r аннуитета в одну денежную единицу, выплачиваемого в конце каждого периода t. Его значения для конкретных r и n можно найти при помощи финансовых таблиц или финансового калькулятора.

Текущая стоимость аннуитета находит применение при так называемом погашении ссуды в рассрочку (методе депозитной книжки). При этом предполагается, что взятая ссуда погашается ежегодно равными платежами, включающими как проценты, так и выплату основной суммы долга.

П р и м е р. В банке получена ссуда в размере 10 000 рублей на 5 лет под 15% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Предполагается возвращать ссуду равными суммами в конце каждого года. Задача при этом состоит в определении размера годового платежа.

Инвестируя 10 000 рублей, банк фактически приобретает аннуитет. Проценты, предполагающиеся к получению в конце первого года использования заемщиком ссуды, составят 1500 рублей. Кроме процентов, общий платеж в конце первого года будет включать также (С-1500) руб., где С – это размер аннуитета. В конце следующего года сумма выплачиваемых процентов уменьшится (поскольку проценты начисляются на непогашенный остаток), а сумма, идущая в погашении основного долга, увеличится так, чтобы общая величина платежа снова равнялась С. Таким образом, мы имеем дело с аннуитетом, текущая стоимость, ставка и продолжительность которого равны соответственно размеру, процентной ставке и длительности ссуды:

10 000 = СFM4(15,5) = С3,352, т.е. С = 2 983 (руб.).

Схема платежей (руб.) при этом будет выглядеть следующим образом:

Год	Остаток ссуды на начало года	Размер годового платежа	В том числе		Остаток ссуды на конец года
			выплата процентов	погашение основной суммы долга
1	10000	2983	1500	1483	8517
2	8517	2983	1278	1705	6812
3	6812	2983	1021	1962	4850
4	4850	2983	727	2256	2594
5	2594	2983	389	2594	0

Контрольные вопросы

1. Объясните экономический смысл операции дисконтирования.

2. Что понимают под чистой приведенной стоимостью?

3. Вспомните формулы начисления процентов, если финансовый контракт заключен на период, отличающийся от целого числа лет.

4. Чем отличаются денежные потоки пренумерандо и постнумерандо?

5. Что такое «аннуитет»?

6. Рассчитайте приведенную стоимость финансового актива, приносящего ежегодный доход в размере 1000 руб. в течение неограниченного периода, если норма доходности по аналогичным инвестициям составляет 12%.