- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 200 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Ряди”
- •Означення числового ряду. Збіжні та розбіжні числові ряди.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Означення числового ряду. Збіжні та розбіжні числові ряди
- •3.1. Ознака порівняння.
- •Теорема 4 (ознака порівняння в граничній формі)
- •3.2. Ознака Даламбера
- •3.3. Радикальна ознака Коші
- •3.4. Інтегральна ознака Коші
- •4. Числові ряди з довільними членами. Умовна та абсолютна збіжності
- •Приклад 17
- •Розв’язання
- •6. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду
- •Приклад 18
- •Розв’язання
- •8. Використання степеневих рядів для наближених обчислень Приклад 21
- •Розв’язання
- •Приклади 22-23
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для самостійної роботи
- •IV. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 3
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 4
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 5
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 6
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 7
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 8
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 9
- •Варіанти завдань:
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури
4. Числові ряди з довільними членами. Умовна та абсолютна збіжності
Означення 4. Числовий ряд , члени якого після будь-якого номера мають різні знаки, називається рядом із довільним розподілом знаків або рядом із довільними членами.
Мова йде про ряди типу , в яких знаки можуть певним чином залежати від номера .
Означення 5. Збіжність ряду (1.1) називається абсолютною, якщо збігається ряд і умовною, якщо ряд розбігається.
Приклад 14
Дослідити збіжність ряду .
Розв'язання
Цей ряд має члени з вільним розподілом знаків. Розглянемо ряд із модулів членів досліджуваного ряду: . Застосуємо до нього ознаку порівняння, маючи на увазі, що .
Оскільки ряд збігається, то збігається також ряд , а, значить, досліджуваний ряд збігається абсолютно.
Зауваження. Збіжність ряду є достатньою ознакою збіжності рядів із вільним розподілом знаків.
5. Знакопереміжні ряди. Теорема Лейбніца
Означення 6. Знакопереміжним називається ряд, який має такий вигляд: , де (5.1)
Знакопереміжний ряд є окремим випадком числового ряду з довільними членами.
Теорема 7 (Ознака Лейбніца)
Якщо в ряді (5.1) члени за модулем монотонно спадають і , то він збігається, причому його сума за модулем не перевищує абсолютної величини першого члена, а залишок його за модулем не перевершує абсолютної величини першого відкинутого члена.
Приклад 15
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд .
Розв'язання
Оскільки члени даного знакопереміжного ряду монотонно спадають і , тому за ознакою Лейбніца досліджуваний ряд збігається. Розглянемо ряд із модулів його членів .
Застосуємо до нього інтегральну ознаку Коші. Загальний член ряду задамо функцією при .
Обчислимо:
Отже, ряд із модулів розходиться, а значить, досліджуваний ряд збігається умовно.
Приклад 16
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд .
Розв’язання
Даний ряд – знакопереміжний. Він задовольняє умовам теореми Лейбніца: його члени за абсолютною величиною спадають, коли зростає, і, крім того, .
Таким чином, цей ряд за теоремою Лейбніца збігається. З'ясуємо тепер, як збігається даний ряд: абсолютно чи умовно. Для цього розглянемо ряд із модулів членів досліджуваного ряду: . Враховуючи, що при , а ряд розбіжний, робимо висновок, що ряд також розбігається. Таким чином, даний ряд збігається умовно.
Дуже важливим для наближених обчислень є твердження в теоремі Лейбніца про те, що залишок за модулем не перевершує модуля свого першого члена.
Приклад 17
Знайти наближено суму ряду із точністю до .
Розв’язання
Оскільки даний ряд – знакопереміжний, збіжний то величина відкинутого при обчисленні залишку ряду, який також є знакопереміжним рядом, не перевищує модуля свого першого члена (на основі зауваження 2 до ознаки Лейбніца). Потрібне число визначимо шляхом підбору із нерівності . При остання нерівність виконується. Тобто, якщо відкинути в даному ряді всі члени, починаючи з шостого, то похибка за модулем не перевершує модуля шостого члена. Отже, знайдемо наближено суму даного ряду, замінивши її частковою сумою шести перших членів. Маємо:
.