- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 200 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Ряди”
- •Означення числового ряду. Збіжні та розбіжні числові ряди.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Означення числового ряду. Збіжні та розбіжні числові ряди
- •3.1. Ознака порівняння.
- •Теорема 4 (ознака порівняння в граничній формі)
- •3.2. Ознака Даламбера
- •3.3. Радикальна ознака Коші
- •3.4. Інтегральна ознака Коші
- •4. Числові ряди з довільними членами. Умовна та абсолютна збіжності
- •Приклад 17
- •Розв’язання
- •6. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду
- •Приклад 18
- •Розв’язання
- •8. Використання степеневих рядів для наближених обчислень Приклад 21
- •Розв’язання
- •Приклади 22-23
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для самостійної роботи
- •IV. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 3
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 4
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 5
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 6
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 7
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 8
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 9
- •Варіанти завдань:
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури
6. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду
Ряди (6.1), членами яких є не числа, а функції, визначені в деякій області визначення аргументу х, називають функціональними.
Для кожного значення х0 з області визначення функцій функціональний ряд перетворюється в числовий ряд:
. (6.2)
Якщо цей ряд збіжний, точку х0 називають точкою збіжності функціонального ряду. Множину всіх точок збіжності функціонального ряду називають його областю збіжності.
Степеневим рядом є функціональний ряд, який має вигляд:
(6.3),
де а – стала, – числа, що мають назву коефіцієнтів степеневого ряду.
Якщо , степеневий ряд набуває вигляду:
. (6.4)
Степеневий ряд завжди збіжний при .
Якщо ряд збігається в точці , тоді існує число , таке, що для всіх степеневий ряд збігається, для всіх – розбігається. Інтервал називають інтервалом збіжності, а половину його довжини, число R – радіусом збіжності.
Областю збіжності степеневого ряду є інтервал , до якого, залежно від конкретних випадків, можна додати кінцеві точки та . В кожній точці інтервалу ряд збігається абсолютно. Якщо степеневий ряд збігається для всіх значень х, вважають , якщо ж він збігається тільки для , вважають .
Інтервал збіжності можна знаходити, застосовуючи ознаку Даламбера, або ознаку Коші до ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.
Записавши ряд (6.3) у вигляді:
, (6.5)
та розглянувши ряд, складений з абсолютних значень членів ряду (6.5), який має вигляд:
, (6.6)
знаходять інтервал збіжності з нерівностей: (6.7) або (6.8)
Приклад 18
Знайти область збіжності ряду .
Розв’язання
Застосуємо ознаку Даламбера: ;
.
Знайдемо значення х, для яких виконується нерівність
, – область збіжності ряду.
Тоді радіус збіжності R=3.
Перевіримо, чи збігається ряд якщо :
Якщо , отримаємо числовий ряд .
Порівняємо даний ряд із збіжним рядом :
.
Отже, ряд також збігається;
Якщо , маємо ряд , який (як ми вже знаємо) збігається.
Отже, та входять до області збіжності .
Приклад 19
Знайти область збіжності ряду
Розв’язання
Згідно з ознакою Даламбера маємо:
, , тоді
Ця нерівність правильна для всіх значень х. Отже, область збіжності , радіус збіжності R = .
Приклад 20
Знайти область збіжності ряду .
Розв’язання
Використаємо ознаку Коші. Знайдемо .
Зрозуміло, що умова виконується тільки якщо х=5, тобто ряд збігається якщо х=5, тоді радіус збіжності R=0.
7. Розклад функцій в степеневі ряди. Ряд Тейлора
Якщо функція f (x) в деякому інтервалі, що містить точку а, має похідні всіх порядків, тоді для неї можна застосувати формулу Тейлора.
(7.1)
де ( а с х, n ) – залишковий член ряду.
Якщо в цьому ж інтервалі виконується умова , тоді функцію можна розкласти в ряд Тейлора для значення х, що розглядається:
(7.2)
Якщо а = 0 , отримаємо ряд Маклорена:
(7.3)
Для виключення процесу багаторазового диференціювання при розкладанні деяких функцій в ряд Тейлора можна використовувати готові розклади основних елементарних функцій з комбінуванням правил додавання, віднімання та множення рядів.
Наведемо розклади в ряд Маклорена основних функцій.
(7.4)
(7.5)
( 7.6)
(7.7)
(7.8) (7.9)
. (7.10)