Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Омский государственный технический университет"

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Электротехника и электроника»

на тему «Расчет тока методом комплексных амплитуд»

студента группы ИВТ-248 Чернова Николая Анатольевича

Пояснительная записка

Шифр работы РГР – 2068998 – 43 – 15 ПЗ

Направление 230100.62

Преподаватель: проф., д.т.н., проф. А.В. Никонов

Студент Н.А. Чернов

Омск 2009

Реферат

Расчетно-графическая работа 19 с., 1 ч., 5 рис., 2 источ., 3 прил.

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД, ЗАКОН ОМА, МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА, АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА, MICROCAP

Предметом исследования является линейная электрическая цепь.

Цель работы – аналитический расчет тока в заданной ветви, нахождение численных параметров тока (амплитуда и начальная фаза) с помощью составления программы на языке высокого уровня и проверка решения с помощью ППП для моделирования аналоговых систем (MICROCAP).

В процессе работы были выведены итоговые формулы для расчета численных параметров искомого тока, причем вывод и преобразования проводились на комплексных формах всех используемых параметров цепи. Была написана программа на языке высокого уровня для расчета искомых значений (листинг программы представлен в приложениях А, Б). С помощью ППП MicroCAP была смоделирована электрическая цепь, составлены графики токов в ветвях, найдены численные параметры искомого тока.

В результате были получены амплитуда и начальная фаза искомого тока, а так же были рассчитаны погрешности найденных величин.

Содержание

Реферат 3

Введение 5

1 Аналитический расчет токов 6

2 Выполнение численных расчетов 11

3 Проверка решения 15

Заключение 17

Список использованных источников 18

Приложение А 19

Приложение Б 20

Приложение В 21

Введение

В данной расчетно-графической работе подробно рассматривался и применялся метод комплексных амплитуд для расчета численных параметров тока. Были получены навыки работы с комплексными формами числа, преобразования значений напряжения, тока, сопротивления в комплексную форму числа. Работа включает в себя анализ цепи, составление итоговых формул, численный расчет в программе и сверку результатов с решением, полученным в ППП моделирования аналоговых систем MicroCAP.

Цель работы – расчет тока в заданной ветви методом комплексных амплитуд.

В ходе работы требуется:

- аналитическое решение, вывод итоговых формул для расчета;

- расчет численных параметров искомого тока путем программирования на языке высокого уровня;

- проверка результатов с помощью ППП для моделирования аналоговых схем MicroCAP с оценкой погрешности.

В первом разделе приведены исходные данные и описан вывод формул для расчета тока. Так же приведено краткое описание метода комплексных амплитуд

Второй раздел содержит вывод формул в комплексной форме для расчета амплитуды и начальной фазы тока. Так же описаны результаты работы программы, написанной на языке высокого уровня С#.

В третьем разделе содержится описание построения схемы в MicroCAP 9.0.5.0 и нахождения параметров тока. Далее, сверяются результаты, полученные с помощью MicroCAP 9.0.5.0 и написанной программы, рассчитывается погрешность найденных величин.

1 Аналитический расчет токов

В цепи, приведенной на рисунке 1 необходимо найти ток i_R2. Для этого достаточно найти амплитуду тока и начальную фазу, т.к. в данной цепи все воздействия гармонические и мгновенное значение тока можно просчитать, как

i_мгнов. = I_msin(ωt + φ) (1)

где I_m – амплитудное значение тока;

φ – начальная фаза;

ω – циклическая частота генератора.

Рисунок 1 – Исходная схема электрической цепи

Исходные данные:

- i₀(t) = 3 sin(t - 60 );

- L = 2 Гн;

- C = 3 Ф;

- R₁ = 4 Ом;

- R₂ = 5 Ом.

Преобразуем схему, что облегчит её анализ и сделает более наглядной для расчета тока. На рисунке 2 приведена эквивалентная исходной схема. Областью с пунктирными границами показано некое сопротивление Z_об, эквивалентное тому, что будет позже рассчитано в охватываемом участке ветви.

Рисунок 2 – Эквивалентная исходной схема

Здесь i₀(t) – ток источника тока, описанный уравнением

i₀(t) = 3 sin(t - 60 ), (2)

где i₁ – ток в ветви с сопротивлением R₁;

i₂ – ток, протекающий по участку с эквивалентным сопротивлением Z_об;

– ток на индуктивности L;

i_R2(t) – искомый ток, текущий на сопротивлении R₂.

Для расчета и вывода итоговых формул будем применять метод комплексных амплитуд [1]. Суть метода заключается в том, что значения токов, напряжений и сопротивлений конкретных участков ветвей заменяются их комплексной формой. При этом действуют все законы и методы для расчета цепей. Если источник тока создает ток

i₀(t) = I_msin(ωt + φ), (3)

то его комплексное изображение имеет вид:

₀ = I_mcos(φ) + jI_msin(φ), (4)

где I_mcos(φ) = λ – действительная часть числа;

I_msin(φ) = ξ – мнимая часть числа;

j носит название мнимой единицы и характеризует значение квадратного корня из минус единицы.

С учетом приведенных выше обозначений получим алгебраическую форму записи комплексного числа

₀ = λ + ξ j. (5)

Также существует экспоненциальная форма записи комплексного числа:

₀ =I_m (6)

Операции дифференцирования и интегрирования заменяются умножением либо делением на jω. В итоге получается какая-либо система, в которой вместо интегрально-дифференциальных уравнений будут алгебраические уравнения, решаемые широко известными методами.

Сначала выведем формулы от значений, показанных на рисунке 2. Затем перейдем к комплексной форме. Применим закон Кирхгофа для токов и закон Ома для линейных цепей. По закону токов Кирхгофа из рисунка 2 имеем

i₀(t) = i₁(t) + i₂(t). (7)

Эти токи текут в параллельных ветвях, а значит напряжения в этих ветвях одинаковы, тогда из закона Ома

U = IR (8)

следует, что

. (9)

Отсюда

i₀ = . (10)

Z_об равно сумме емкостного сопротивления X_c и сопротивления участка с параллельными токами i_R2(t) и i_xl Z₁. Z₁ по правилу расчета при параллельном соединении, находится как

Z₁ = , (11)

где - индуктивное сопротивление.

Окончательно для Z_об имеем

Z_об = + X_c. (12)

Тогда ток i₂ может быть выражен как

i₂ = (13)

Аналогично ток на индуктивности i_xl и ток на сопротивлении R₂ так же текут параллельно и для этих двух ветвей выполняется соотношение

, (14)

откуда получим

= . (15)

Также по закону токов Кирхгофа для токов i_xl и i_R2 , i₂ выполняется

i₂(t) = i_xl(t) + i_R2(t). (16)

Из (12) и (13) получим

i_R2(t) = (17)

В итоге из (10) и (14) получаем конечную формулу для искомого тока i_R2(t)

i_R2(t) = (18)

Здесь для простоты вида формулы оставлено обозначение , которое находится по формуле (12).